[统计学笔记] （十三）指数分析（1）

（十三）指数分析（1）

统计指数简称指数，有广义和狭义之分。广义地讲，任何两个数值对比形成的相对数都可以称为指数；狭义地讲，为了反映某一社会经济现象而产生的两组有关联的数值对比形成的相对数称为指数。

指数分析法是利用指数体系分析各影响因素变动对总指数的影响方向和程度，以及各因素对总指标的影响数额的一种分析方法。

指数是反映复杂的社会现象受多种因素而变动的相对数，它能够表明所研究社会现象量的方面在时间或空间上综合变动的程度。通过对指数的分析，可以综合说明复杂的社会现象变动的一般趋势和规律，分析各种构成因素影响的程度，并进而了解现象变动的具体原因。

指数分析法的要点是：

1、指数分析法所要研究的是受多种因素影响的复杂现象，这类现象的量表现为若干因素的乘积，其中每个因素发生变化都会使总量发生变动。指数分析法的目的在于测定各个因素影响的方向和程度。

2、指数分析法的基本特点是，假定其它因素数量上相同或不变，测定其中某一个因素影响的方向和程度。如果有三个因素，则假定其中两个因素的数量相同或不变，测定另一个因素的影响。

3、指数体系是指数分析法的基本依据。从相对数方面说，若干因素指数的乘积应等于总指数;从绝对数方面说，若干因素影响差额的总和，也应等于实际发生的总差额。

指数分析法包括：总量指标的两因素分析和多因素分析；平均指标的两因素分析和多因素分析。

指数是测定多项内容数量总和变动的相对数。

这个概念中包含两个要点：

1、指数的实质是测定多项内容。如，零售价格指数反映的是零售市场几百万种商品价格变化的整体状况。

2、其表现形式为动态相对数，既然是动态相对数，就涉及指标的基期对比，不同要素基期的选择就成为指数方法需要讨论的问题。

编制指数的方法就是围绕上述两个问题展开的。

统计指数的性质

统计指数有下面的性质：

相对性——统计指数总体各变量在不同场合下对比形成的相对数，它可以度量一个变量在不同时间或不同空间的相对变化。

综合性——综合性说明指数是一种特殊的相对数，它是由一组变量或项目综合对比形成的。没有综合性，指数就不能发展成为一种独立的理论和方法。

平均性——统计指数是总体水平的一个代表性指数。平均性的涵义有二：一是指数进行比较的综合数量是作为个别量的一个代表，这本身就具有平均性；二是两个综合量对比形成的指数反映了个别量的平均变动水平。

 

指数分类

统计指数按照不同的研究目的和要求，可以作如下各种分类：

1、个体指数和总指数

统计指数按所研究对象的范围不同，可分为个体指数和总指数。个体指数反映某种社会经济现象个别事物变动的情况。如反映某一种商品物价变动的情况。总指数则综合反映某种事物包括若干个别事物总的变动情况，如反映若干商品总的物价变动情况。有时为了研究需要，在介于个体指数与总指数之间，还编制组指数(或类指数)。组指数的编制方法与总指数相同。

2、数量指标指数和质量指标指数

统计指数按所表示的特征不同，可以分为数量指标指数和质量指标指数。数量指标指数反映现象总体的规模和水平的变动状况，如产量指数，职工人数指数等。质量指标指数则反映现象总体内涵质量的变动，如商品物价指数，劳动生产率指数等。

3、动态指数和静态指数

统计指数按其本来的涵义，都是指动态指数。但在实际运用过程中，涵义渐渐推广到了静态事物和空间对比，因而产生了静态指数。所谓静态指数是指在同一时间条件下不同单位，不同地区间同一事物数量进行对比所形成的指数；或同一单位，同一地区计划指标与实际指标进行对比所形成的指数。

4、定基指数和环比指数。

统计指数按在指数数列中所采用的基期不同，可以分为定基指数和环比指数。定基指数指在数列中以某一固定时期的水平作对比基准的指数；环比指数则是以其前一时期的水平作为对比基准的指数。 

综合指数

综合指数的意义

综合指数是总指数的一种表现形式。它是通过对两个时期范围相同的复杂现象总体同度量和加权计算的总量对比编制的总指数。

编制综合指数，首先要解决好两个问题：(1)正确选择同度量因素(权数)；(2)选择同度量因素的所属时期。

所谓同度量因素是指在编制综合指数时，可以把不能直接相加或对比的现象转化为可以相加或对比,在指数中起媒介作用的因素。例如，不同商品的单价,由于计量单位不同不能相加,如果都乘以销售量得出销售额就可以相加了。在这里，销售量对单价来说就是同度量因素。

选择同度量因素时，要注意根据现象的内在的必然联系来选取，同时，要使之能正确反映不同现象变化的重要性，不把各现象的变化在总指数中的作用同等看待。例如，在价格综合指数中，其所以选择销售量作同度量因素，一方面是价格与销售量之间客观存在着经济联系；另一方面是用不同价格乘销售量时，由于销售量有多有少，可以使不同价格的变动在价格总指数中的重要性与影响能得到正确地反映。因此，正确计算综合指数的关键在于正确选择同度量因素。

编制综合指数的另一个重要问题是选择同度量因素固定的时期。如果不把同度量因素所属时期固定，计算出来的综合指数，就会包含有同度量因素变化的影响。这就是说不能反映影响现象的某一特定因素的影响程度。

我们按照常规分别以数量指标指数和质量指标指数来说明综合指数的编制方法。

数量指标综合指数

某企业三种产品的数量及价格资料

产品

名称

计量

单位

产  量

产品单价(元)

基期

报期

基期

报期

甲

米

1000

1150

100

100

乙

件

2000

2200

50

55

丙

台

3000

3150

20

25

现以某企业三种产品的资料为例，说明数量指标综合指数的编制方法。

用Ｋ代表个体指数。根据表中的资料计算的三种产品产量的个体指数为：

               , 即 115%

               ，即 110% 

               ，即 105%

三种产品的产量增长幅度不同，为了说明三种产品产量总的增长程度，需要计算综合指数。

由于同度量因素（价格）固定时期不同，综合指数的计算形式也不相同。可以用  代表产量总指数则有：

（1）用基期价格作同度量因素，其计算公式为（拉氏数量指数公式）：

拉斯贝尔斯指数简称拉氏指数，是指用基期的销售额作为权数，对个体价格指数求加权算术平均数，得出个综合价格指数公式；同时，用基期销售额(或产值)对个体物量指数求加权算术平均数，得出一个与价格综合指数相对应的综合物量指数的方法。这两个指数都是德国人拉斯贝尔斯于1864年提出的。

（2）用报告期价格作同度量因素，其计算公式为（派氏数量指数公式）：

以上公式是1874年由德国学者派许提出的，被称为派氏数量指数公式。

从理论上讲，上述两个公式均可成立，但为了单纯反映产品产量的变化程度，把价格固定在基期保持不变较好。如果用报告期价格作同度量因素，就会在反映产品产量变动的指数中包含有产量和价格共变因素的影响。从这个意义上讲，编制数量指标综合指数应将同度量因素固定在基期。

现根据上表资料，说明其计算（计算过程如下表）三种产品产量的综合指数的结果。

，即 110.77%

影响的绝对额： （万元）

指数计算表：

（单位：万元）

产品

按基期价格计算

按报告期价格计算

产值变动

基期产值

报告期产值

基期产值

报告期产值

 

 

 

 

 

 

甲

10

11.5

10

11.5

0

0

乙

10

11.0

11

12.1

1

1.1

丙

6

6.3

7.5

7.875

1.5

1.575

合计

26

28.8

28.5

31.475

2.5

2.675

，即 110.43%

影响绝对额： （万元）

 

质量指标综合指数

用Ｋ代表个体指数。根据上表资料计算的三种产品单价的个体指数为：

，即 100%

，即 110%

，即 125%

由上述两个表的资料可以看出，三种产品的计量单位不同，三种产品的单价也不能直接相加，为了综合反映三种产品价格的总变动，可以用产品产量作为同度量因素，编制价格综合指数。

具体操作上，与计算产品物量指数类似，计算价格综合指数时，也需要把作为同度量因素的产品产量所属时间固定。同样有拉氏与派式两种指数公式可供使用。可以用  代表价格总指数，则有：

（1）用基期产量为同度量因素，得出拉氏价格指数公式为 ：

 （公式3）

（2）用报告期产量为同度量因素，得出派式价格指数公式为：

 （公式4）

同样，上述两个公式均可成立，但为了单纯反映产品价格的变化程度，把产品产量固定在基期保持不变较好。如果用报告期产量作同度量因素，就会在反映价格变动的指数中包含有产量和价格共变因素的影响。从这个意义上讲，编制质量指标综合指数应将同度量因素固定在基期。

利用上面例子中的指数计算表的资料，用(公式3)和(公式4)式计算三种产品的价格综合指数为：

，即 109.61%

影响绝对额： （万元）

，即 109.29%

影响绝对额： （万元）

编制综合指数应该明确的几个问题

（1）综合指数包含着两类因素：一类叫指数化因素，即通过指数要观察其变动的因素；另一类叫同度量因素。在狭义指数中，指数化因素只能有一个，而同度量因素可以是一个或多个。

（2）综合指数不论分子分母，其总量都是由有关的数量指标与质量指标的乘积所构成。因此，在只包含两个因素的综合指数中，一个是数量指标，另一个必然是质量指标，于是：数量指标指数化必然要以质量指标为同度量因素；而质量指标指数化必然要以数量指标为同度量因素。

（3）在综合指数的编制中，采用的是一种科学假定的分析方法，即在观察某个现象变动时，假定其他现象不变。因此，为了使这种假定科学、合理，就需要结合指数的目的、意义选择同度量因素固定的时期。按现行统计制度规定的编制综合指数的一般原则是：

    1）在编制数量指标指数时，应以基期的质量指标作为同度量因素；

    2）在编制质量指标指数时，应以报告期的数量指标作为同度量因素。

    采取上述原则的基本意义在于保持指数分析的数学意义上的完整。

（4）综合指数需要根据全面资料编制，必须有两个时期范围相同的相互对应的资料才能计算。

平均指数

平均指数是编制总指数的另一种重要形式。它是以个体指数为基础，通过对个体指数进行平均计算的一种总指数。考虑平均时是否加权,我们分别讨论简单平均指数和加权平均指数。

1. 简单平均指数

主要形式有：

（1）简单综合指数。这是直接综合各研究对象的报告期与基期的数值进行对比而形成的指数,计算形式为：

数量指数质量指数

（2）简单算术平均指数。这是直接以各个体指数求简单算术平均而形成的指数,计算形式为：

数量指数质量指数

（3） 简单调和平均指数。这是直接对各个体指数求简单调和平均而形成的指数,计算形式为:

数量指数质量指数

（4） 简单几何平均指数。这是直接对各个体指数求简单几何平均而形成的指数,计算形式为：

数量指数质量指数

 这几种简单指数中,相对而言更具适用价值的是几何平均指数。

2、加权平均指数

其基本形式有两种：一是加权算术平均指数；二是加权调和平均指数。

（1）加权算术平均指数

在计算各种指标的总指数时，有时,我们需要利用加权算术平均指数进行计算。如我们在推算报告期某现象可能达到的状态时，可以依据基期的价值量指标和预计的各现象的变动程度进行计算。其基本计算公式为：

式中：      Ｋ—分别代表个体数量指数和个体质量指数

上述公式与我们前面讨论的加权算术平均数形式一样，因而被称为加权算术平均指数。如果原始资料相同，计算的结果和综合指数公式相同，所反映的现象的具体内容也相同。

我们仍以上面的例子作计算说明。

，即 110.77%

，即 109.61%

计算结果与上述公式计算结果完全相同。

（2）加权调和平均指数

有时，总指数需要按加权调和平均指数形式计算。其基本计算公式为：

，即 110.43%

，即 109.29%

（3）平均数指数的特点

与综合指数相比较，平均数指数具有以下特点：

1）二者的计算程序不同，他不像综合指数那样，先综合后对比，而是先对比计算出个体指数，然后再综合平均。

2）综合指数适用于根据全面资料编制，而平均数指数既可以用全面资料编制,也可以用非全面资料编制，即只需要对少数有代表性的个体指数加权平均即可，所需资料比较少，因此，它比综合指数更具有现实应用意义。

3）综合指数一般要用实际资料作同度量因素，而平均数指数不仅可以用实际资料为权数，而且可以用固定权数计算，这就为指数的计算提供了便利条件,从而可以保证指数计算结果的及时性。

[统计学笔记] （十三）指数分析（2）

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