投资的收益与风险的数学建模

问题的提出

假设市场上有 n n n中资产 s i ( i = 1 , 2 , . . . , n ) s_i(i=1, 2, ..., n) si​(i=1,2,...,n)可以选择，先用数额为 M M M的相当大的资金作为一时期的投资，分别给出 n n n中资产的平均收益率 r i r_i ri​，风险损失率 q i q_i qi​，手续费 p i p_i pi​和购买额度 u i u_i ui​。其中购买额度指的是我们在购买某一种资产的时候，假设购买的额度小于 u i u_i ui​，那么计算手续费的时候也要按照 u i u_i ui​算。当 n = 4 n=4 n=4的时候数据如下表所示。

s i s_i si​ r i r_i ri​ q i q_i qi​ p i p_i pi​ u i u_i ui​ s 1 s_1 s1​282.51103 s 2 s_2 s2​211.52198 s 3 s_3 s3​235.64.552 s 1 s_1 s1​252.66.540

我们假设 s 0 s_0 s0​是存银行，没有交易费没有风险，且收益率 r 0 = 5 % r_0=5\% r0​=5%

模型分析与建立

总体风险用所投资的 s i s_i si​中的最大的一个风险来衡量，即 m a x { q i x i   ∣   i = 1 , 2 , . . . , n } max left {q_ix_i space | space i=1,2,...,n ight } max{qi​xi​ ∣ i=1,2,...,n} 购买所付交易费是一个分段函数 交 易 费 = { p i x i , x i > u i p i u i , x i ⩽ u i 交易费 = egin{cases} p_ix_i, & x_i >u_i \ p_iu_i, & x_ileqslant u_i end{cases} 交易费={pi​xi​,pi​ui​,​xi​>ui​xi​⩽ui​​ 由于题目给定的 u i u_i ui​相对于投资金额来说很小，所以我们可以将购买 s i s_i si​的净收益简化为 ( r i − p i ) x i (r_i-p_i)x_i (ri​−pi​)xi​，也就是 ( 收 益 率 − 交 易 手 续 费 ) ∗ 本 金 (收益率-交易手续费)*本金 (收益率−交易手续费)∗本金 我们可以将这个问题总结如下 目标函数如下（最大化投资收益并且最小化风险） { m a x ∑ i = 0 n ( r i − p i ) x i m i n { m a x { q i x i } } egin{cases} max egin{matrix} sum_{i=0}^n (r_i-p_i)x_i end{matrix} \ min left { maxleft { q_ix_i ight } ight } end{cases} {max∑i=0n​(ri​−pi​)xi​​min{max{qi​xi​}}​ 约束条件为 { ∑ i = 0 n ( 1 + p i ) x i = M , x i ≥ 0 , i = 0 , 1 , . . . , n egin{cases} egin{matrix} sum_{i=0}^n (1+p_i)x_i=M, end{matrix} \ x_igeq 0, i=0,1,...,n end{cases} {∑i=0n​(1+pi​)xi​=M,​xi​≥0,i=0,1,...,n​

模型简化

我们可以给定风险一个界限a，让最大的投资风险为 a a a，那么就有 q i x i M ≤ a ( i = 1 , 2 , . . . , n ) frac{q_ix_i} {M} leq a(i=1,2,...,n) Mqi​xi​​≤a(i=1,2,...,n)，以这个条件来寻找最佳的投资组合 我们可以将收益作为目标函数，以收益最大化为目标，可以将模型简化如下 m a x ∑ i = 0 n ( r i − p i ) x i , maxsum_{i=0}^n (r_i-p_i)x_i, maxi=0∑n​(ri​−pi​)xi​, { q i x i M ≤ a ( i = 1 , 2 , . . . , n ) ∑ i = 0 n ( 1 + p i ) x i = M , x i ≥ 0 , i = 0 , 1 , . . . , n egin{cases} frac{q_ix_i} {M} leq a(i=1,2,...,n) \ sum_{i=0}^n(1+p_i)x_i=M, x_igeq 0, i=0,1,...,n end{cases} {Mqi​xi​​≤a(i=1,2,...,n)∑i=0n​(1+pi​)xi​=M,xi​≥0,i=0,1,...,n​

模型求解

我们写出简化后模型的详细表达式 m i n   f = [ − 0.05 , − 0.27 , − 0.19 , − 0.185 , − 0.185 ] [ x 0 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ] T , min space f=[-0.05, -0.27, -0.19, -0.185, -0.185] [x_0, x_1,x_2,x_3,x_4]^T, min f=[−0.05,−0.27,−0.19,−0.185,−0.185][x0​,x1​,x2​,x3​,x4​]T, { x o + 1.01 x 1 + 1.02 x 2 + 1.045 x 3 + 1.065 x 4 = 1 , 0.025 x 1 ≤ a , 0.015 x 2 ≤ a , 0.055 x 3 ≤ a , 0.026 x 4 ≤ a , x i ≥ 0 , i = 0 , 1 , . . . , 4 。 egin{cases} x_o+1.01x_1+1.02x_2+1.045x_3+1.065x_4=1, \ 0.025x_1leq a, \ 0.015x_2leq a, \ 0.055x_3leq a, \ 0.026x_4leq a, \ x_igeq 0, i=0,1,...,4。 end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧​xo​+1.01x1​+1.02x2​+1.045x3​+1.065x4​=1,0.025x1​≤a,0.015x2​≤a,0.055x3​≤a,0.026x4​≤a,xi​≥0,i=0,1,...,4。​ 我们令初始 a = 0 a=0 a=0，然后以步长为 Δ a = 0.001 Delta a=0.001 Δa=0.001进行计算

a=0; % a是风险程度hold on;while a