多元统计：因子分析

多元统计：因子分析 1.因子分析的主要应用2.因子分析与主成分分析的联系与区别3.因子分析模型与线性回归模型的区别与联系4.因子旋转5.习题介绍6.例子实现

1.因子分析的主要应用

因子分析是一种通过显在变量测评潜在变量，通过具体指标测评抽象因子的统计分析方法。目前因子分析在心理学、社会学、经济学等学科中都有重要的应用。具体来说：

①因子分析可以用于分类。如用考试分数将学生的学习状况予以分类；用空气中各种成分的比例对空气的优劣予以分类等等

②因子分析可以用于探索潜在因素。即是探索未能观察的或不能观测的的潜在因素是什么，起的作用如何等。对我们进一步研究与探讨指示方向。在社会调查分析中十分常用。

③因子分析的另一个作用是用于时空分解。如研究几个不同地点的不同日期的气象状况，就用因子分析将时间因素引起的变化和空间因素引起的变化分离开来从而判断各自的影响和变化规律。

2.因子分析与主成分分析的联系与区别

因子分析与主成分分析的联系是：①两种分析方法都是一种降维、简化数据的技术。②两种分析的求解过程是类似的，都是从一个协方差阵出发，利用特征值、特征向量求解。因子分析可以说是主成分分析的姐妹篇，将主成分分析向前推进一步便导致因子分析。因子分析也可以说成是主成分分析的逆问题。如果说主成分分析是将原指标综合、归纳，那么因子分析可以说是将原指标给予分解、演绎。

因子分析与主成分分析的主要区别是：主成分分析本质上是一种线性变换，将原始坐标变换到变异程度大的方向上为止，突出数据变异的方向，归纳重要信息。而因子分析是从显在变量去提炼潜在因子的过程。此外，主成分分析不需要构造分析模型而因子分析要构造因子模型。

3.因子分析模型与线性回归模型的区别与联系

因子分析模型是一种通过显在变量测评潜在变量，通过具体指标测评抽象因子的统计分析方法的模型。而线性回归模型回归分析的目的是设法找出变量间的依存(数量)关系, 用函数关系式表达出来。 因子分析模型中每一个变量都可以表示成公共因子的线性函数与特殊因子之和。即

因子模型满足：

而回归分析模型满足

两种模型的联系在于都是线性的。因子分析的过程就是一种线性变换。

4.因子旋转

因子分析的目标之一就是要对所提取的抽象因子的实际含义进行合理解释。但有时直接根据特征根、特征向量求得的因子载荷阵难以看出公共因子的含义。这种因子模型反而是不利于突出主要矛盾和矛盾的主要方面的，也很难对因子的实际背景进行合理的解释。这时需要通过因子旋转的方法，使每个变量仅在一个公共因子上有较大的载荷，而在其余的公共因子上的载荷比较小。

最大方差旋转法是一种正交旋转的方法，其基本思路为：

5.习题介绍 6.例子实现

问题提出： 对企业经济效益体系的8项指标建立因子分析模型（附表数据）。这8项指标分别为：x1-固定资产利税率，x2-资金利税率，x3-销售收入利税率，x4-资金利润率，x5-固定资产利润率，x6-资金周转天数，x7-万元产值能耗，x8-全员劳动生产率。 在分析过程中，提取因子的方法为“主成分”法，并以数据的“相关阵”为分析矩阵，并且提取3个因子，采用“最大方差旋转法”进行因子旋转。 （1）则这3个因子的累积方差贡献率为多少？ （2）请写出原始变量x1和x2的因子表达式； （3）所提取的3个公共因子分别在8个指标中的哪些指标上有较大载荷？并据此说明所提取的公因子概括了企业的何种能力？ （4）分别写出因子得分表达式，并计算“大同”企业的综合因子得分。

导入数据如下：

进行因子分析后得到以下结果：

表一：特征根与方差贡献率 结果分析： （1）则这3个因子的累积方差贡献率为多少？ 由表一可知，我从中提取了3个主成分，这3个因子的累积方差贡献率为87.086% （2）请写出原始变量x1和x2的因子表达式； 由表二旋转后的因子载荷矩阵可知： （3）所提取的3个公共因子分别在8个指标中的哪些指标上有较大载荷？并据此说明所提取的公因子概括了企业的何种能力？

由上图可知，第一个公共因子在变量x1-固定资产利税率，x2-资金利税率，x3-销售收入利税率，x4-资金利润率， x5-固定资产利润率上有较大载荷，说明这五个变量具有很强的相关性，归为一类 将其命名为利率型因子。

第二个公共因子在变量x1-固定资产利税率，x3-销售收入利税率,x8-全员劳动生产率上有较大载荷明这三个变量具有很强的相关性，归为一类 将其命名为收入型因子，概括了企业的盈利能力。

第三个公共因子在变量x6-资金周转天数，x7-万元产值能耗上有较大载荷明这两个变量具有很强的相关性，归为一类 将其命名为资金流动型因子，概括了企业的资金流动能力

（4）分别写出因子得分表达式，并计算“大同”企业的综合因子得分。 因子得分表达式： F1=0.159ZX1+0.331ZX2+0.091ZX3+0.311ZX4+0.139ZX5+0.217ZX6-0.187ZX7-0.195ZX8 F2=0.259ZX1-0.173ZX2+0.381ZX3-0.081ZX4-0.075ZX5-0.123ZX6+0.429ZX7+0.654ZX8 F3=0.16ZX1+0.068ZX2+0.208ZX3+0.122ZX4-0.248ZX5+0.696ZX6+0.514ZX7-0.007ZX8