关于波动率，你想知道的都在这了 债券基金每日收益怎么算

某个变量的波动率 sigma 定义为这一变量在单位时间内连续复利回报率的标准差。当波动率被用于期权定价时，时间单位通常为一年，因此波动率就是一年连续复利回报率的标准差，但是当波动率用于风险控制时， 时间单位通常是一天，此时的波动率对应于每天连续复利回报率的标准差。

如果我们假设每天的回报独立同分布，那么T天回报的标准差是日回报标准差的 sqrt{T} 倍，这和“不确定性随着时间长度的平方根增长”这一法则是一致的，在计算波动率时，我们用的是交易的天数（252）而非日历天数，比如在计算周五结束交易到下周一结束时股票价格的标准差时，我们发现，这“三天的连续复利收益率”并没有比连续两个交易日之间的连续复利收益率高很多，因此有种解释是波动率本身是由交易本身决定的，而累积的是不同交易日的“交易的不确定性”，因此我们更关心的是实际的交易天数（或者说波动率在交易日要远高于非交易日，因此在波动率计算中非交易日可以忽略不计）。

波动率分为两种，一种是回望型波动率（backward looking），另外一种是前瞻波动率（forward looking）。前者是用历史数据算出来的波动率，后者是根据现在的期权价格，用B-S 期权定价模型反推出来的波动率。前者是已经发生了的历史价格的波动，我们算一个波动率。后者是我们对未来一个价格的波动率的预测，未必准确的。

先说前者，回望型波动率，就是我们所说的历史波动率，他是根据历史数据计算的。在这里，我们要区分日波动率与年波动率的概念，我们定义：

n+1 ——————观测次数； S_{i} ———————第 i 个时间区间结束时变量的价格，i = 0,1,……，n； au ——————— 事件区间的长度，单位是年

收益率 u_{i} (连续复利收益率)的计算公式为： u_{i} = lnleft( frac{S_{i}}{S_{i-1}} ight) 公式-1） u_{i} 的标准差s通常估计为：

s = sqrt{frac{1}{n-1}sum_{i=1}^{n}{left( u_{i}-ar{u} ight)}} 或者 s = sqrt{frac{1}{n-1}sum_{i=1}^{n}{ u_{i}^{2}} - frac{1}{nleft( n-1 ight)}left( sum_{i=1}^{n}{u_{i}} ight)^{2}} 公式-2）

我们假设有这样一支股票，其收益如下表所示：

按照上面的数据，我们可以得出： sum_{i=1}^{n}{u_{i}} = 0.09531 sum_{i=1}^{n}{u_{i}^{2}} = 0.00326

日标准收益率的标准差为：

s = sqrt{frac{0.00326}{19} - frac{0.09531^{2}}{19*20}} =0.01216

我们的日收益率标准差就是 1.216%，当然这个只是我们在规定时间段内的收益率的统计而已,它计算的是日收益率的标准差。年波动率可以估计为：

sigma = ssqrt{252} = 0.193 公式-3）

因为我们只有20个样本，所以波动率的每年标准差可估计为 frac{sigma}{sqrt{2n}} 公式-4）

frac{sigma}{sqrt{2n}} = frac{0.193}{sqrt{2*20}} = 0.031

3.1% 就是年化波动率了。

总结一下，先用公式-1的方法来计算每天的收益率，然后用公式-2来估计一个日收益率的标准差，接着用公式-3来计算波动率，然后用公式-4 来估计实际的年化波动率。这个收益率是用已经发生了的历史价格来推算一下波动率的，也就是回望型波动率，对于未来还没有发生的价格波动，没人知道具体的价格走向，但我们根据该资产对应的期权价格，与B-S 期权定价模型可以推算出市场上预计该资产的波动率。

前面所讨论的方法都默认过去各个时间点上的收益率对当前波动率的权重也就是贡献相同（equally weighted)，在实际中这往往不太现实，由于供求关系，市场环境，经济周期以及各种基本和技术层面的因素，波动率在不同时间区间往往会发生变化(regime switch), 很难想象1年前和1天前的收益率对估计波动率会有相同的影响。所以实际应用中往往需要对不同历史时刻的收益率施加不同的权重，这就有了一些更加复杂的波动率模型，如

1) EWMA (Exponetially Weighted Moving Aveage)

sigma_{n}^{2} = lambda sigma_{n-1}^{2} + left( 1-lambda u_{n-1}^{2} ight)

其中 lambda 一般取为0.94左右。可以证明这样的模型使得历史收益率对波动率的影响随着过去距离今天的时间差而指数递减。

2) GARCH (General Autoregressive Conditional Heteroskedastic Model)

sigma_{t}^{2} = omega + sum_{i=1}^{q}{alpha_{i}varepsilon_{t-i}^{2} + sum_{j=1}^{p}{eta_{i}sigma_{t-j}^{2}}} 其中 varepsilon_{t} = sigma_{t}* z_{t} 为收益率的残差 （residual), 即收益率除去均值后的部分（如均值为零可近似看作收益率本身). z_{t} 为一强白噪声过程，可取为标准高斯分布。

常用的模型为GARCH(1,1), 也就是p=q=1. 上面的EWMA是GARCH(1,1) 在 eta_{1} = lambda , alpha_{1} = 1-lambda omega =0 时的特例。GARCH模型的一个优点在于它保证了当系数满足一定条件时波动率具有 mean reversion 的性质，也就是长期波动率存在一个稳定值。对GARCH(1,1), 这个值就是:

frac{omega}{1-alpha_{1}-eta_{1}}

条件是 alpha_{1} +eta_{1}

不同的执行价的隐含波动率是不同的，代表着交易员们对该股票未来波动率的看法。

第一，关于 historical volatility。在 Black Scholes 的框架下，也就是假设股票价格服从 GBM 的时候，volatility 可以用 quadratic variation 计算。如下式：

lim_{n ightarrow infty}{sum_{i=1}^{n}{left( X_{t_{i}} - X_{t_{i-1}} ight)^{2}}} =left[ X,X ight]_{T} = sigma^{2}T

这里 X_{t} 是股票价格的对数， t_{0},t_{1},cdotcdotcdot,t_{n} 是 left[ 0,T ight] 区间的一个划分。注意，这个和标准差不一样，这个其实是对数收益率的二阶距。可以证明，用 quadratic variation 得到的估计量是一致估计。

第二，还有一种东西叫 local volatility，这个其实是一个作为 stochastic volatility 的一种替代做法，就是认为 volatility 是一个关于时间和资产价格的确定性函数 sigmaleft(t,S_{t} ight) ,因此也叫 Deterministic Volatility Function (DVF)。这样做也就是为了避免 Heston Model 等 stochastic volatility 带来的计算复杂度。Dupire 给出了一种计算 local volatility 的方法：

sigma^{2}left(K,T ight) = frac{frac{partial C}{partial T}}{frac{1}{2}K^{2}frac{partial^{2}C}{partial K^{2}}}

这里的 C 是未折现的期权价格。右边的两个导数可以由市场上的期权价格计算出来。 不过因为行权价和到期日并不是连续变化的， C 只在一个离散点集上有定义，需要至少二次样条的插值才能行。由此可见，这种方法其实是不适定的，对数据的变化非常敏感。求解 local volatility 的适定算法可以由最优控制理论给出，这个我就不太懂了，姜礼尚：期权定价的数学模型和方法 一书的最后一章简介了这种算法。