金融学习笔记（四）：利率互换（Interest Rate Swap） 债券对冲是啥意思

一、定义与背景

在金融市场上，常常存在这样一个现象：由于企业自身的信用等级不相同，投资人会对不同的企业给予不同的利率，这种差异在固定利率和浮动利率上都有所体现。类似于国际贸易，在金融市场上也存在着借贷的比较优势，通过计算即可得到如果两家企业分别在固定利率和浮动利率上具有借贷的比较优势，那么双方就可以节省一笔利率费用，这笔费用再在双方协商后会按一定比例分配。这种模式为之前信用等级较低的企业提供了一种减小借贷费用的方法，即利率互换。利率互换是交易双方在一笔名义本金数额的基础上相互交换具有不同性质的利率支付，即同种通货不同利率的利息交换。通过这种互换行为，交易一方可将某种固定利率资产或负债换成浮动利率资产或负债，另一方则取得相反结果。利率互换的主要目的是为了降低双方的资金成本 (即利息)，并使之各自得到自己需要的利息支付方式 (固定或浮动)。

二、利率互换的定价

（一）利率互换合约的分解

B公司是一个在固定利率借贷上具有比较优势的公司，其与另一个在浮动利率借贷上有比较优势的公司签订了利率互换协议，其现金流如图。我们不妨按列观察。收入的浮动现金流可以视作浮动利率债券的多头，而支付的固定现金流可以视作固定利率债券的空头。而该互换的现金流正是这两种债券的组合，于是对该债券的定价可以分解成对两种债券的定价。

（二）符号

V ：互换合约的价格

B_{fl} ：互换合约中分解出浮动利率的价值

B_{fix} ：互换合约中分解出固定利率的价值

t_i ：距第i次现金流交换的时间 (1leq ileq n)

L ：名义本金

r_i ：到期日为 t_i 的LIBOR零息票利率（零息票债券是一种不支付利息的债券，靠买入价和票面额之间的差价获取收益）

K ：支付日固定利息（固定债券）

K_i ：第i次付息日支付的利息

（三）固定利息债券部分的定价

该部分的定价很简单，相当于将每次付息日的现金流贴现再加上最终本金的贴现值，就可以得到债券在期初的价格。有公式： B_{fix}=sum_{i=1}^{n}{ke^{r_it_i}}+Le^{-r_nt_n} .其中第一部分为利息贴现，第二部分为本金贴现。

（四）浮动利息债券部分的定价

对于浮动利率债券来说，定价不能采取贴现的方式，理由如下：

在固定利率债券中，所有的无风险利率都是在第一期期初就一定定下的，后续的无风险利率都是按照远期的LABOR来确定的。换句话说，后续真实的LABOR利率对固定利率债券的定价毫无影响。而相比之下，浮动利息债券的利息是无法在第一期期初就确定的，这也就导致其不能直接贴现定价。在此情况下我们可以用这种方式来定价：

首先要确定的一点是，该假设浮动利率债券的利息与LABOR是相等的，这点很重要，否则就无法得出下面的证明。

假设第n期的利息为 K_n ，由于该利息获得与上一期产生的利息没有关系（上一期的利息没有用于增加本金），所以我们可以认为在该期末利息刚刚支付，或者用数学的语言来描述 lim_{t ightarrow t^-}{B_{fl}}=L+K_n .利用这个价格进行贴现，可以推出第n-1期的债券价格是 (K_t+L) imes e^{-r_{t-1}t}=(L imes (e^{r_{t-1}t}-1)+L) imes e^{-r_{t-1}t}=L

利用数学归纳法我们可以得出这个式子是普遍成立的，换句话说lim_{t ightarrow t^+}{B_{fl}}=L 对每一个付息日都成立。那么对于对于初始时的浮动利息债券的定价，就可以直接用定价后首个付息日来进行贴现定价。注意，由于定价时可能不是付息日，即定价的时刻可能存在于两个付息日之间，所以其到下个付息日的利息并不是 K_1 ，不妨用 K^* 表示，显然 K^*leq K_1 . 于是对于 B_{fl}=(L+K^*)e^{-r_0t} ，这样我们就完成了对浮动利率的定价。

从金融工程的概念上，我们也可以证明 lim_{t ightarrow t^+}{B_{fl}}=L ，使用反证法：

假设 lim_{t ightarrow t^+}{B_{fl}} e L ，不妨认为 +∞>lim_{t ightarrow t^+}{B_{fl}}>L ，假设这个值为 L^* ，可以构造如下的套利组合：

在 t 时刻我们收到了利息，此时我们对这个债券进行做空，去除掉票面利息，剩下的正好为 L^* ，将这笔钱以LABOR的利率借出，在期末可以获得 L^*e^{r_t t} 的收益。而在债券市场上期末债券的价格为 Le^{r_t t} （票面利率加利息），期末时应该归还给原持有人 Le^{r_t t} . 则可以获得无风险套利： L^*e^{r_t t}-Le^{r_t t}>0 ,由于金融工程假设中，只要有套利机会，就会引起套利者参与，故此情况是不会存在的，说明定价出现了问题，所以我们可以认为假设是错误的，也就是证明了 lim_{t ightarrow t^+}{B_{fl}}=L .

（五）总体定价

对于B公司， V=B_{fl}-B_{fix}，而对于B公司的交易对手V=B_{fix}-B_{fl}

这样就完成了对互换的定价