风险资产的最优组合公式证明 股票债券基金的配置比例怎么算

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目录 风险资产的最优组合公式及说明风险资产的最优组合公式证明

风险资产的最优组合公式及说明 不管三七二十几 ，先给出公式： ω = [ E ( r 1 ) − r f ] σ 2 2 − [ E ( r 2 ) − r f ] ρ σ 1 σ 2 [ E ( r 1 ) − r f ] σ 2 2 + [ E ( r 2 ) − r f ] σ 1 2 − [ E ( r 1 ) − r f + E ( r 2 ) − r f ] ρ σ 1 σ 2 omega=dfrac{[E(r_1)-r_f]sigma_2^2-[E(r_2)-r_f] hosigma_1sigma_2}{[E(r_1)-r_f]sigma_2^2+[E(r_2)-r_f]sigma_1^2-[E(r_1)-r_f+E(r_2)-r_f] hosigma_1sigma_2} ω=[E(r1​)−rf​]σ22​+[E(r2​)−rf​]σ12​−[E(r1​)−rf​+E(r2​)−rf​]ρσ1​σ2​[E(r1​)−rf​]σ22​−[E(r2​)−rf​]ρσ1​σ2​​公式应用场景：        首先，你要对Harry M. Markowitz（马科维兹）的均值——方差模型表示肯定。        其次，你的资产组合仅仅包括两种风险资产和一种无风险资产，而且你要知道两种风险资产的期望收益率、风险和相关系数，还要知道无风险资产的预期收益率。        那么，根据Harry M. Markowitz的资产组合理论，我们可以得到类似于下面的这幅图，图中曲线为两种风险资产的组合情况，曲线上不同的点代表了投资两种资产的不同比重；图中直线为无风险资产和风险资产相组合情况，其与纵坐标相交的点所代表的预期收益率为无风险利率（这里为6%）。        如果经过点T的直线与曲线只交于一点T，则说明我们找到了最有效资产组合的风险资产组合，而T点对应的特定风险资产的组合称为风险资产的最优组合。        我们要做的就是找到这个T点，从而得到最有效资产组合，而找到T点也就意味着要知道两种资产组合在投资中分别所占的比重，即求 ω omega ω。 原因我就不解释了，能点进来的应该都懂，绝不是因为我懒得写

图片来源：《金融学（第二版）》（博迪著）

公式参数说明： 参数说明 ω omega ω风险资产1在风险资产组合中的权重（投资比例） E ( r 1 ) E(r_1) E(r1​)风险资产1的预期收益率 E ( r 2 ) E(r_2) E(r2​)风险资产2的预期收益率 r f r_f rf​无风险资产的预期收益率 σ 1 sigma_1 σ1​风险资产1的风险（标准差） σ 2 sigma_2 σ2​风险资产2的风险（标准差） ρ ho ρ风险资产1和风险资产2的相关系数 风险资产的最优组合公式证明

       重中之重来了，大部分的书上和网络上都只有这个公式本身，却没有证明过程，主要因为证明过程非常恶心和繁琐 ，那我就在这里证明一下，不想自己动手又想知道证明过程的人千万不要错过。        首先，让我们思考一个问题，当一条固定截距的直线与一个如图所示曲线相交时，切点处必然斜率最大，而斜率越大意味资产组合的风险每上升固定数值，可以得到的预期收益率的上升越大，那么在切点处我们可以获得最有效资产组合，即T点。        在公式证明之前先引入三个没出现过的参数， E ( r N ) E(r_N) E(rN​)为N点(任意一点）代表的风险投资组合的预期收益率， σ N sigma_N σN​为N点代表的风险投资组合的风险（标准差）， k k k为该直线的斜率。我们可以根据之前所学的知识得出： E ( r N ) = ω E ( r 1 ) + ( 1 − ω ) E ( r 2 ) E(r_N)=omega E(r_1)+(1-omega)E(r_2) E(rN​)=ωE(r1​)+(1−ω)E(r2​) σ N = ω 2 σ 1 2 + ( 1 − ω ) 2 σ 2 2 + 2 ρ σ 1 σ 2 ω ( 1 − ω ) sigma_N=sqrt{omega^2sigma_1^2+(1-omega)^2sigma_2^2+2 hosigma_1sigma_2omega(1-omega)} σN​=ω2σ12​+(1−ω)2σ22​+2ρσ1​σ2​ω(1−ω) ​        假设直线与曲线交于N点，则 k = E ( r N ) − r f σ N = ω E ( r 1 ) + ( 1 − ω ) E ( r 2 ) − r f ω 2 σ 1 2 + ( 1 − ω ) 2 σ 2 2 + 2 ρ σ 1 σ 2 ω ( 1 − ω ) k=dfrac{E(r_N)-r_f}{sigma_N}=dfrac{omega E(r_1)+(1-omega)E(r_2)-r_f}{sqrt{omega^2sigma_1^2+(1-omega)^2sigma_2^2+2 hosigma_1sigma_2omega(1-omega)}} k=σN​E(rN​)−rf​​=ω2σ12​+(1−ω)2σ22​+2ρσ1​σ2​ω(1−ω) ​ωE(r1​)+(1−ω)E(r2​)−rf​​        我们的目的是要使得 k k k的值最大，即 k = k m a x = E ( r T ) − r f σ T k=k_{max}=dfrac{E(r_T)-r_f}{sigma_T} k=kmax​=σT​E(rT​)−rf​​        也就是说在 k k k对 ω omega ω求导后使得导函数结果为0的 ω omega ω就是T点的 ω omega ω（ k k k为 ω omega ω的函数）： d k d ω = [ E ( r 1 ) − E ( r 2 ) ] ω 2 σ 1 2 + ( 1 − ω ) 2 σ 2 2 + 2 ρ σ 1 σ 2 ω ( 1 − ω ) − [ ω E ( r 1 ) + ( 1 − ω ) E ( r 2 ) − r f ] [ ( σ 1 2 + σ 2 2 − 2 ρ σ 1 σ 2 ) ω + ρ σ 1 σ 2 − σ 2 2 ] ω 2 σ 1 2 + ( 1 − ω ) 2 σ 2 2 + 2 ρ σ 1 σ 2 ω ( 1 − ω ) ω 2 σ 1 2 + ( 1 − ω ) 2 σ 2 2 + 2 ρ σ 1 σ 2 ω ( 1 − ω ) = 0 scriptsize dfrac{dk}{domega}=dfrac{[E(r_1)-E(r_2)]sqrt{omega^2sigma_1^2+(1-omega)^2sigma_2^2+2 hosigma_1sigma_2omega(1-omega)}-dfrac{[omega E(r_1)+(1-omega)E(r_2)-r_f][(sigma_1^2+sigma_2^2-2 hosigma_1sigma_2)omega+ hosigma_1sigma_2-sigma_2^2]}{sqrt{omega^2sigma_1^2+(1-omega)^2sigma_2^2+2 hosigma_1sigma_2omega(1-omega)}}}{omega^2sigma_1^2+(1-omega)^2sigma_2^2+2 hosigma_1sigma_2omega(1-omega)}=0 dωdk​=ω2σ12​+(1−ω)2σ22​+2ρσ1​σ2​ω(1−ω)[E(r1​)−E(r2​)]ω2σ12​+(1−ω)2σ22​+2ρσ1​σ2​ω(1−ω) ​−ω2σ12​+(1−ω)2σ22​+2ρσ1​σ2​ω(1−ω) ​[ωE(r1​)+(1−ω)E(r2​)−rf​][(σ12​+σ22​−2ρσ1​σ2​)ω+ρσ1​σ2​−σ22​]​​=0 ⇓ LARGE Downarrow ⇓ [ E ( r 1 ) − E ( r 2 ) ] ω 2 σ 1 2 + ( 1 − ω ) 2 σ 2 2 + 2 ρ σ 1 σ 2 ω ( 1 − ω ) − [ ω E ( r 1 ) + ( 1 − ω ) E ( r 2 ) − r f ] [ ( σ 1 2 + σ 2 2 − 2 ρ σ 1 σ 2 ) ω + ρ σ 1 σ 2 − σ 2 2 ] ω 2 σ 1 2 + ( 1 − ω ) 2 σ 2 2 + 2 ρ σ 1 σ 2 ω ( 1 − ω ) = 0 footnotesize [E(r_1)-E(r_2)]sqrt{omega^2sigma_1^2+(1-omega)^2sigma_2^2+2 hosigma_1sigma_2omega(1-omega)}-dfrac{[omega E(r_1)+(1-omega)E(r_2)-r_f][(sigma_1^2+sigma_2^2-2 hosigma_1sigma_2)omega+ hosigma_1sigma_2-sigma_2^2]}{sqrt{omega^2sigma_1^2+(1-omega)^2sigma_2^2+2 hosigma_1sigma_2omega(1-omega)}}=0 [E(r1​)−E(r2​)]ω2σ12​+(1−ω)2σ22​+2ρσ1​σ2​ω(1−ω) ​−ω2σ12​+(1−ω)2σ22​+2ρσ1​σ2​ω(1−ω) ​[ωE(r1​)+(1−ω)E(r2​)−rf​][(σ12​+σ22​−2ρσ1​σ2​)ω+ρσ1​σ2​−σ22​]​=0 ⇓ LARGE Downarrow ⇓ [ E ( r 1 ) − E ( r 2 ) ] [ ( σ 1 2 + σ 2 2 − 2 ρ σ 1 σ 2 ) ω 2 + ( 2 ρ σ 1 σ 2 − 2 σ 2 2 ) ω + σ 2 2 ] − [ ( E ( r 1 ) − E ( r 2 ) ) ω + E ( r 2 ) − r f ] [ ( σ 1 2 + σ 2 2 − 2 ρ σ 1 σ 2 ) ω + ρ σ 1 σ 2 − σ 2 2 ] = 0 scriptsize [E(r_1)-E(r_2)][(sigma_1^2+sigma_2^2-2 hosigma_1sigma_2)omega^2+(2 hosigma_1sigma_2-2sigma_2^2)omega+sigma_2^2]-[(E(r_1)-E(r_2))omega+E(r_2)-r_f][(sigma_1^2+sigma_2^2-2 hosigma_1sigma_2)omega+ hosigma_1sigma_2-sigma_2^2]=0 [E(r1​)−E(r2​)][(σ12​+σ22​−2ρσ1​σ2​)ω2+(2ρσ1​σ2​−2σ22​)ω+σ22​]−[(E(r1​)−E(r2​))ω+E(r2​)−rf​][(σ12​+σ22​−2ρσ1​σ2​)ω+ρσ1​σ2​−σ22​]=0 ⇓ LARGE Downarrow ⇓ [ E ( r 1 ) − E ( r 2 ) ] ( ρ σ 1 σ 2 − σ 2 2 ) ω − [ E ( r 2 ) − r f ] ( σ 1 2 + σ 2 2 − 2 ρ σ 1 σ 2 ) ω + [ E ( r 1 ) − E ( r 2 ) ] σ 2 2 − [ E ( r 2 ) − r f ] ( ρ σ 1 σ 2 − σ 2 2 ) = 0 footnotesize [E(r_1)-E(r_2)]( hosigma_1sigma_2-sigma_2^2)omega-[E(r_2)-r_f](sigma_1^2+sigma_2^2-2 hosigma_1sigma_2)omega+[E(r_1)-E(r_2)]sigma_2^2-[E(r_2)-r_f]( hosigma_1sigma_2-sigma_2^2)=0 [E(r1​)−E(r2​)](ρσ1​σ2​−σ22​)ω−[E(r2​)−rf​](σ12​+σ22​−2ρσ1​σ2​)ω+[E(r1​)−E(r2​)]σ22​−[E(r2​)−rf​](ρσ1​σ2​−σ22​)=0 ⇓ LARGE Downarrow ⇓ [ ( E ( r 1 ) + E ( r 2 ) − 2 r f ) ρ σ 1 σ 2 − ( E ( r 1 ) − r f ) σ 2 2 − ( E ( r 2 ) − r f ) σ 1 2 ] ω + [ E ( r 1 ) − r f ] σ 2 2 − [ E ( r 2 ) − r f ] ρ σ 1 σ 2 = 0 [(E(r_1)+E(r_2)-2r_f) hosigma_1sigma_2-(E(r_1)-r_f)sigma_2^2-(E(r_2)-r_f)sigma_1^2]omega+[E(r_1)-r_f]sigma_2^2-[E(r_2)-r_f] hosigma_1sigma_2=0 [(E(r1​)+E(r2​)−2rf​)ρσ1​σ2​−(E(r1​)−rf​)σ22​−(E(r2​)−rf​)σ12​]ω+[E(r1​)−rf​]σ22​−[E(r2​)−rf​]ρσ1​σ2​=0 ⇓ LARGE Downarrow ⇓ ω = [ E ( r 1 ) − r f ] σ 2 2 − [ E ( r 2 ) − r f ] ρ σ 1 σ 2 [ E ( r 1 ) − r f ] σ 2 2 + [ E ( r 2 ) − r f ] σ 1 2 − [ E ( r 1 ) − r f + E ( r 2 ) − r f ] ρ σ 1 σ 2 omega=dfrac{[E(r_1)-r_f]sigma_2^2-[E(r_2)-r_f] hosigma_1sigma_2}{[E(r_1)-r_f]sigma_2^2+[E(r_2)-r_f]sigma_1^2-[E(r_1)-r_f+E(r_2)-r_f] hosigma_1sigma_2} ω=[E(r1​)−rf​]σ22​+[E(r2​)−rf​]σ12​−[E(r1​)−rf​+E(r2​)−rf​]ρσ1​σ2​[E(r1​)−rf​]σ22​−[E(r2​)−rf​]ρσ1​σ2​​