第十篇：收益与风险 债券与基金的风险与收益的关系是什么意思啊

上篇文章中，我将整个利率三明治送到了大家的口中，相信大家吃的开心，吃的明白。在本专栏的各篇文章中，我反复强调了所谓的风险收益同源，高收益是对高风险的补偿，这种虽然简单但是非常深刻的道理，对于我们理解金融市场有着非常重要的意义，风险与收益成比例的意思就是金融市场上不存在免费的午餐，不存在低风险高收益这种美好的投资机会，这种哲学孕育了有效市场理论，甚至可以说是现代金融学的大厦的基石。

为了补偿风险而抬高收益似乎是天经地义的，但是本专栏向来就是“吹毛求疵”找寻逻辑漏洞，这里要补上为什么风险需要提高收益进行补偿这一个逻辑环节。为了说明这个问题，我们需要回顾一下到底什么是收益，什么是风险，这里需要使用一点统计学的知识，放心，完全没学过的也不要紧。

一、收益

首先我们来看一下什么是收益，假设以小伙开肉夹馍店的例子为例，有70%的概率会成功，经营成功会取得30%的收益率。同时有30%的概率会经营失败，此时会亏损20%，也就是收益率为-20%。那此项目的收益率如何评估呢，答案很简单，就是计算收益率的期望值。

什么是期望？就是该变量在每种情况下的概率加权值，概念听起来复杂，计算一看就懂了。上例中收益率用R代替，R就是return的首字母。R的期望就是E(R),也就是R的Expectation。比如上例中，收益率的期望值E(R)=70%*30%+30%*(-20%)=15%。就是70%概率赚30%和30%概率亏20%，用概率将收益率进行加权平均就是上述公式的意思。而15%就表明期望的平均收益是15%。所以学过一点统计学的人到这里就明白了，期望收益率就是随机变量的期望值。什么是随机变量，可以理解为一个变量，有若干个可能的情况，每个情况对应一个发生的概率，这个变量就是一个随机变量。比如明天的天气就是一个随机变量，有可能是晴天，有可能是阴天，分别对应着发生的概率。随机变量的期望值就是我们刚才公式表达的意思，即每个情况发生的概率乘以该情况下随机变量的值得和。比如某个随机变量有四种可能性，发生概率分别是10%，20%，30%，40%。注意，这些情况发生概率的和是100%，也就是随机变量肯定会发生某种情况之一。而在这四种情况下，随机变量的值分别是1，1，2，3。那么这个随机变量的期望值就是10%*1+20%*1+30%*2+40%*3=2.1。

二、风险

下面我们来看一下什么是风险，关于风险是什么实际上又是一个非常重要的难题，自金融学诞生以来，关于什么是风险的讨论就从未停止，100多年前股票交易所成立之初大家就已经意识到交易中蕴含着各种风险，但是风险到底是什么，如何衡量风险却一直没有解决。直到1952年，横空出世的马科维兹（Markowitz）在其毕业的博士论文中对风险提出了自己的定义，由于其使用的数学如此简单，以至于答辩委员会都考虑是否授予其博士学位，但是虽然数学简单，内涵却相当深刻，以至于直接影响了资产管理行业，在1990年因此伟大的发现被授予了诺贝尔经济学奖。

马科维兹（Markowitz）

刚才我们说了收益就是随机变量的期望值，而马科维兹定义的风险就是随机变量的方差。方差？什么是方差，还是以刚才那个随机变量举例，随机变量的四中情况发生概率分别是，10%，20%，30%，40%。注意，这些情况发生概率的和是100%。四种情况下随机变量的值分别是1，1，2，3。我们刚才已经计算出随机变量的期望值是10%*1+20%*1+30%*2+40%*3=2.1。随机变量的期望值刻画了该变量平均的值，随机变量的方差则刻画了未来随机变量的波动程度。用公式来描述，就是每个情况下随机变量值偏离期望值的程度，因为偏离期望值有正有负，比如情况一二三下随机变量取值是1，1，2，均小于期望值2.1。情况四下随机变量取值为3，大于期望值2.1。为了不考虑正负，方差计算中使用随机变量取值与期望值差的平方，然后再依概率加权。随机变量方差一般使用希腊字母sigma，也就是一个圆圈上面有个小波浪，像一个尾巴朝上的小蝌蚪。

加大这个字母，专门强调这是金融学中最重要的概念

这个例子中，随机变量的方差sigma=情况一的概率10%*情况一下随机变量取值1与期望值2.1之间差的平方，也就是10%*（1-2.1）的平方，然后加上情况二的概率20%*情况二下随机变量取值1与期望值2.1之间差的平方，也就是20%*（1-2.1）的平方再加上情况三balbabla，情况四balbalba。即

sigma=0.1 imes(1-2.1)^2+0.2 imes(1-2.1)^2+0.3 imes(2-2.1)^2+0.4* imes(3-2.1)^2=0.69。

该值衡量了此随机变量的波动情况，方差越大，表明该随机变量上蹿下跳。方差越小，表明随机变量越平稳。举个例子，扔一枚硬币，正面赢100，反面输100。由于我们知道，一枚均匀的硬币正反面出现的概率是50%，因此期望收益是50%*100+50%*(-100)=0。也就是这种公平的游戏期望收益为0.

如果是正面赢10000，反面输10000呢？期望收益50%*10000+50%*(-10000)=0，期望收益还是0元，但是方差却剧烈增加，因为未来的情况要么是赢10000，要么是亏10000。

输赢100的情况下，我们计算方差为50%*（100-0）^2+50%*（-100-0）^2=10000

而输赢10000的情况下，方差为50%*（10000-0）^2+50%*（-10000-0）^2=10^8。期望收益一样，而方差却大了这么多，所以直观上我们也觉得第二种游戏风险较大。

至此就是金融学中收益与风险的数学定义。我们介绍了随机变量的期望与方差，所谓随机变量的期望，就是随机变量未来可能的平均值，是概率加权的平均值；所谓方差，就是衡量随机变量离散与波动程度的变量。而马科维兹使用了期望收益率定义了收益，收益率方差定义了风险。这只是开了个头，我们下面将继续介绍为什么方差，也就是波动就是风险。

方差：结果与期望之间偏离的衡量三、边际效用递减

期望收益率刻画了收益率的平均水平，收益率的方差刻画了收益率的波动情况，也可以理解为刻画了对于期望收益率的偏离程度，并且波动率即方差越大，该项资产的风险越大。

本节我们来聊聊为什么收益率的方差就是风险，这就要从经济学一项非常重要的效应说起，即边际效用递减效应，或者也称为边际收益递减。

食品的边际效用越来越弱，第一个包子是最香的

我首先解释一下什么叫边际收益，边际就是delta，那个小三角符号，就是导数的概念，关于导数我们这里就不展开了。在这里对边际收益可以简单理解为在现在的基础上增加一个单位所获得的收益，比如你投入一单位精力可以考50分，再投入一单位精力可以考70分，这后面多考的20分就是这一单位精力的边际收益。

边际效用递减是微观经济学中非常重要且非常基础的一个效应，该效应属于经济学公理的一种，所谓公理，即是最基础，无法证明却不言自明的假设。边际效用递减广泛存在于生活中各个领域，属于经济学家们从生活实践中总结的一个公理。什么叫边际效用递减，或者边际收益递减呢，字面意思就是每单位收益或效用是递减的，我这里举个两个例子大家就明白了。一块田地，投入一单位种子可以生产十单位粮食，那么再投入一单位种子能再生产多少粮食呢，应该是小于十单位的，假设是九单位粮食，再投入一单位种子可能就只能再生产出7单位粮食了以此类推，到后来整个田地都种满了，再投入种子估计一两多余的粮食都产不出来了，边际收益降低到零，如果再强行加入种子，不仅不能产生收益，可能还会使这块土地的粮食产量下降，因为过多的种子抢占土壤肥力，导致整体涨势不良，即边际收益甚至为负数。为什么会这样呢，假设边际收益递增，也就是第一单位种子可以产生十单位粮食，第二单位种子可以产生十一单位粮食，那么整个人类只要一块土地，无限投入种子，粮食越长越多，这显然不符合这个世界的客观情况。那如果边际收益不变呢，即不管第几单位的种子，总能长出十单位的粮食，那人们还是只要对着一块地无限耕种，一样可以长出无限的粮食来，这显然是荒谬的。由于粮食产量是可以量化的，所以在这里每单位种子的投入就相当于边际收益，我们说一块土地上的粮食产量是符合边际收益递减的。

再举一个例子，来说明一下边际效用递减的含义。经济学上使用效用来衡量产品对于人的满足感，假设我空腹吃一个馒头的满足感或者说效用是10单位，那么再吃一个馒头对我而言满足感肯定要下降，可能就是9单位或者更少，当然效用具有主观性，可能某个南方同学不爱吃馒头，第一个馒头对他的效用就很低，但不论如何第二个馒头对他的效用一定低于第一个。为何？还是同样的道理，假设我吃一个馒头的效用为10，吃第二个馒头的效用甚至大于10，那就会变成我越吃越多，越吃越开心，最后吃到高兴的几乎撑死。同样，如果边际效用不变，吃每个馒头我都能感到10的效用，那我吃下去同样感受不到饱腹感，一直吃的很开心，最后的结果可能是很悲惨的。这两种情况显然都是荒谬的，实际情况是吃了第一个馒头我觉得很爽，吃第二个就会有些饱腹感了，不如第一个香了，再吃第三个就是为了填饱肚子了，如果再吃下去可能就会恶心想吐，这个馒头的单位效用甚至是负数。

相信通过这两个例子大家应该能明白什么是边际效用递减了，该效应广泛存在于生活的方方面面。说回金融，对于金钱，普通人也是边际收益递减的。

什么？金钱的边际收益也是递减的？你别惊讶，对于大多数不是超级财迷的普通人而言就是这样。如果你身无分文，假设你现在开始工作，刚开始的一万块钱可能是非常具有效用的，因为这一万元可以解决温饱。如果继续努力工作给你一万你还是觉得很重要，因为可以开始考虑买买书看看电影解决一下精神生活需求，但这个需求相比温饱就没那么必须了。如果再给你很多钱，钱对你的效用就越来越低，闲暇时光反而比较重要，你可能就考虑停止工作而享受闲暇，而不是无休无止的工作。大家想一下是不是这个道理，当然这里排除超级财迷啊，正常人都是觉得挣到一定的钱以后休息时光就越来越重要。比如巴菲特、比尔盖茨、马云等人，挣钱对他们来说边际收益已经非常低了，工作已经为了更高层次的人生意义，所以捐钱做慈善反倒对他们来说效用比较高。

边际收益递减也能说明马斯洛的需求理论，钱越多边际收益越小，越需要高等级的追求

边际收益递减，这个广泛存在的现象使我们对于很多实际问题都具有解释力，比如刷题可以使你的数学高考成绩较为轻松的提高到120，你需要投入