算法学习笔记(1) : 并查集 平安保险信托是什么意思呀安全吗知乎文章在哪里看

并查集被很多OIer认为是最简洁而优雅的数据结构之一，主要用于解决一些元素分组的问题。它管理一系列不相交的集合，并支持两种操作：

合并（Union）：把两个不相交的集合合并为一个集合。查询（Find）：查询两个元素是否在同一个集合中。

当然，这样的定义未免太过学术化，看完后恐怕不太能理解它具体有什么用。所以我们先来看看并查集最直接的一个应用场景：亲戚问题。

（洛谷P1551）亲戚

题目背景若某个家族人员过于庞大，要判断两个是否是亲戚，确实还很不容易，现在给出某个亲戚关系图，求任意给出的两个人是否具有亲戚关系。题目描述规定：x和y是亲戚，y和z是亲戚，那么x和z也是亲戚。如果x,y是亲戚，那么x的亲戚都是y的亲戚，y的亲戚也都是x的亲戚。输入格式第一行：三个整数n,m,p，（n

现在我们假设4、5、6号也进行了一番帮派合并，江湖局势变成下面这样：

现在假设2号想与6号比，跟刚刚说的一样，喊帮主1号和4号出来打一架（帮主真辛苦啊）。1号胜利后，4号认1号为帮主，当然他的手下也都是跟着投降了。

好了，比喻结束了。如果你有一点图论基础，相信你已经觉察到，这是一个树状的结构，要寻找集合的代表元素，只需要一层一层往上访问父节点（图中箭头所指的圆），直达树的根节点（图中橙色的圆）即可。根节点的父节点是它自己。我们可以直接把它画成一棵树：

（好像有点像个火柴人？）

用这种方法，我们可以写出最简单版本的并查集代码。

初始化int fa[MAXN];inline void init(int n){ for (int i = 1; i

现在我们要merge(2,3)，于是从2找到1，fa[1]=3，于是变成了这样：

然后我们又找来一个元素4，并需要执行merge(2,4)：

从2找到1，再找到3，然后fa[3]=4，于是变成了这样：

大家应该有感觉了，这样可能会形成一条长长的链，随着链越来越长，我们想要从底部找到根节点会变得越来越难。

怎么解决呢？我们可以使用路径压缩的方法。既然我们只关心一个元素对应的根节点，那我们希望每个元素到根节点的路径尽可能短，最好只需要一步，像这样：

其实这说来也很好实现。只要我们在查询的过程中，把沿途的每个节点的父节点都设为根节点即可。下一次再查询时，我们就可以省很多事。这用递归的写法很容易实现：

合并（路径压缩）int find(int x){ if(x == fa[x]) return x; else{ fa[x] = find(fa[x]); //父节点设为根节点 return fa[x]; //返回父节点 }}

以上代码常常简写为一行：

int find(int x){ return x == fa[x] ? x : (fa[x] = find(fa[x]));}

注意赋值运算符=的优先级没有三元运算符?:高，这里要加括号。

路径压缩优化后，并查集的时间复杂度已经比较低了，绝大多数不相交集合的合并查询问题都能够解决。然而，对于某些时间卡得很紧的题目，我们还可以进一步优化。

按秩合并

有些人可能有一个误解，以为路径压缩优化后，并查集始终都是一个菊花图（只有两层的树的俗称）。但其实，由于路径压缩只在查询时进行，也只压缩一条路径，所以并查集最终的结构仍然可能是比较复杂的。例如，现在我们有一棵较复杂的树需要与一个单元素的集合合并：

假如这时我们要merge(7,8)，如果我们可以选择的话，是把7的父节点设为8好，还是把8的父节点设为7好呢？

当然是后者。因为如果把7的父节点设为8，会使树的深度（树中最长链的长度）加深，原来的树中每个元素到根节点的距离都变长了，之后我们寻找根节点的路径也就会相应变长。虽然我们有路径压缩，但路径压缩也是会消耗时间的。而把8的父节点设为7，则不会有这个问题，因为它没有影响到不相关的节点。

这启发我们：我们应该把简单的树往复杂的树上合并，而不是相反。因为这样合并后，到根节点距离变长的节点个数比较少。

我们用一个数组rank[]记录每个根节点对应的树的深度（如果不是根节点，其rank相当于以它作为根节点的子树的深度）。一开始，把所有元素的rank（秩）设为1。合并时比较两个根节点，把rank较小者往较大者上合并。

路径压缩和按秩合并如果一起使用，时间复杂度接近 O(n) ，但是很可能会破坏rank的准确性。

初始化（按秩合并）inline void init(int n){ for (int i = 1; i

这里把2的父节点设为5，或者把5的父节点设为2，其实没有太大区别。我们选择前者，于是变成这样：

显然树的深度增加了1。另一种合并方式同样会让树的深度+1。

并查集的应用

我们先给出亲戚问题的AC代码：

#include #define MAXN 5005int fa[MAXN], rank[MAXN];inline void init(int n){ for (int i = 1; i 这是二维版本，题目中的三维版本是类似的

大家看看上面这张图，是不是看出一些门道了？我们把所有空洞划分为若干个集合，一旦两个空洞相交或相切，就把它们放到同一个集合中。

我们还可以划出2个特殊元素，分别表示底部和顶部，如果一个空洞与底部接触，则把它与表示底部的元素放在同一个集合中，顶部同理。最后，只需要看顶部和底部是不是在同一个集合中即可。这完全可以通过并查集实现。来看代码：

#include #include #define MAXN 1005typedef long long ll;int fa[MAXN], rank[MAXN];ll X[MAXN], Y[MAXN], Z[MAXN];inline bool next_to(ll x1, ll y1, ll z1, ll x2, ll y2, ll z2, ll r){ return (x1 - x2) * (x1 - x2) + (y1 - y2) * (y1 - y2) + (z1 - z2) * (z1 - z2)