求助麦考利久期和修正久期? 利率与债券价格的关系公式

问题的表述是对麦考利久期、修正久期以及利率风险的概念理解有一点乱。

首先要弄明白久期的概念和麦考利久期（Macaulay Duration）的来源，久期指的是债券的平均还款期，比如一个面值100的，一年期的债券，到一年末还清，那还款期是一年没有问题。但一个面值200的，两年期的债券，我每年末各还100，还款期如果用简单的加权平均算出来是1.5年，但实际上这样是错误的，因为资金是有时间价值的。所以需要对每年的现金流进行折现，以折现后的现金流为权重再进行加权平均后的还款期，就是麦考利久期的概念。

而修正久期（Modified Duration）指的是债券价格变化对利率变化对敏感程度，而对于修正久期与麦考利久期的关系，是通过对基础的债券价格公式求一阶导数并进行变换后，会发现这里包含了麦考利久期的公式，从而得出了修正久期的公式，个人认为从理解上看，可以从久期的定义公式去理解记忆这个概念。

第三个就是对于利率风险和价格风险的问题，也是问题中关于麦考利久期和投资期限的表述。在利率下降的情况下，再投资的收益会下降而债券的市价会上升，反之在利率上升时，再投资的收益会上升而债券的价格会下降。那么无论利率朝哪一向变化，势必会引起再投资收益和债券价格的反向变动，那就有可能出现问题中所说的两种风险相抵的情况。那么到底哪一方的影响会更强一些呢，这就与投资期限有关。如果投资期限短，即投资期小于麦考利久期，那么其实是价格影响更大，举一个极端的例子：如果买了一个债券，今天买了明天就卖了，这时你连一毛钱利息都没拿到，所以利率的变动只能影响你的债券价格，跟利息的再投资是无关的；但如果投资期限很长，大于了麦考利久期，那么收到的利息就