线代特征值、惯性指数、标准型、规范型的关系？等价、相似与合同？ 指数型和债券型的区别和联系

目录

1. 两矩阵特征值相同

1.1 实对称矩阵A、B的特征值相同

2. 二次型的标准型

2.1 标准型唯一吗

2.2 标准型与秩

2.3 标准型与特征值

2.4 正交变换与特征值

2.5 两个二次型的标准型相同

3. 规范型

3.1 规范型唯一吗

3.2 规范型与标准型

3.3 规范型与合同（充要条件）

4. 等价、相似与合同

1. 两矩阵特征值相同

能确定什么？不能确定什么？（不能确定，表示不可推出，没有证据推出。）

答：能确定行列式、迹相等；不能确定秩相等，不能确定A～B（相似），不能确定A合同于B。从以下几点解释。

① 因为 |A|=λ1 λ2…λn，tr(A)=λ1+λ2+…+λn，所以 |A|=|B|，tr(A)=tr(B)。

② 有特征值 λ，不表示A可以～Λ。

③ 若 A～Λ，可推出 r(A)=非0的 λ 个数。

④ 合同需要实对称矩阵（考研范围中），λ 相等并不能保证。

【反例】帮助理解：此例中，r(A)≠r(B)，且都不可相似对角化，且都不是实对称矩阵（不可合同）。

1.1 实对称矩阵A、B的特征值相同

实对称矩阵一定可以对角化，所以可得A、B相似于同一个对角阵，即 A～Λ～B。又因为实对称，所以逆＝转置，也合同。

《为什么实对称矩阵相似一定合同》：https://zhidao.baidu.com/question/467790592.html?qbl=relate_question_0

2. 二次型的标准型 2.1 标准型唯一吗

不唯一。如果是配方法求得的，那么选取的可逆变换（配方的方式）不同，标准型结果也就不同。

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