线性代数复习归纳（一）：矩阵+例题 债券期货价格计算例题及解析答案大全

1.1 基本概念

数量矩阵：对角矩阵的每个元素都相等 行最简形矩阵：行阶梯型矩阵的每个非零行的非零首元都为1，且这些非零首元所在列的其他元素都为0 同型矩阵：行数和列数都相等的两个矩阵 负矩阵：所有元素是原矩阵的相反数

1.2 基本运算

数乘：kA使A的所有元素a变成ka 线性运算：包括矩阵的加法和数乘 从向量X到向量Y的线性变换：Y=AX 线性方程组：Ax=b，A为系数矩阵，x为未知向量，b为常数向量 两个非零矩阵的乘积可能为零，如：A=[1 1; -1 -1]，B=[-1 1; 1 -1]，AB=[0 0; 0 0] A、B可交换：AB=BA 判断可交换：如果AB=E，那么A和B可交换。即A和A的逆矩阵可交换。 可交换矩阵的二项式定理： 两个n阶对角矩阵是可交换的，且乘积仍然是对角矩阵 矩阵的m次多项式： 求A^n： （1）A拆成可交换矩阵的乘积，A=BC，其中B为n1，C为1n，然后把首尾的B和C拎出来，求里面常数的n-1次方 （2）A拆成可交换矩阵的和，用二项式定理展开 矩阵转置的性质： 任意一个n阶矩阵都可以表示成一个对称矩阵和一个反对称矩阵的和： 例题

1.3 分块矩阵

常用的分块法有三种： （1）按列分块 （2）按行分块 （3）分块对角矩阵 加法：A与B的各分块都是同型矩阵，则： 数乘： 乘法： 转置： 例题

1.4 初等变换与初等矩阵

三种初等行变换： （1）对换变换：两行互换 （2）倍乘变换：用不为0的k去乘某一行 （3）倍加变换：某一行乘k再加到另一行 初等变换都是可逆的 矩阵等价：A可以经过有限次初等变换化成B，记为A≅B，等价具有传递性 等价标准形： 则E是A的等价标准形，且具有唯一性 化等价标准形： 三种初等矩阵： （1）对换矩阵： 除了第i行和第j行外，其他行都是主对角线为1，这样EA的结果是让A除了第i和j行外保持不变；E中第i行取第j列为1，就是让A的第i行用第j行赋值；E的第j行取第i列为1同理。 （2）倍乘矩阵： E的第i行中第i列为k，对应取A的第i行乘k （3）倍加矩阵： 在E的第i行不仅取第i列为1，保存了A的第i行，而且取第j列为k，使得A的第i行加上了它第j行的k倍。 行变换：左乘初等矩阵；列变换：右乘初等矩阵 用U表示行最简矩阵，对于初等矩阵Pi，有 注意P1是第一个乘的，在最靠近A的地方，对应第一步行变换。 同理可以取Qj，使得 化为等价标准型。

1.5 方阵的逆矩阵

可逆的行最简矩阵是单位矩阵 初等矩阵都可逆，且逆矩阵也是初等矩阵 性质： 判断可逆： （1）对于给定的A，设B可以满足AB=E，左边化成用B的元素表示的式子，令它与右边相等，如果可以解出B的元素，那么A是可逆的，如果无解，A就是不可逆的。 （2）如果A中有某一行元素全为0，那么它是不可逆的。 （4）充要条件：A可以写成初等矩阵的乘积。 （5）充要条件：A可以经过初等行变换化为单位矩阵，即存在Pi，使得 此时 A的逆矩阵为 （6）充要条件：|A|≠0 （7）分块对角阵可逆的充要条件：每个分块都可逆。 求A的逆矩阵： （1）对具体数值表示的矩阵，都可以用：对分块矩阵[A,E]进行有限次初等行变换，当左边化为E时，右边就是A的逆矩阵；或者对[A;E]进行有限次初等列变换，下面是A的逆矩阵。 （2）对低阶矩阵：可以用 高阶就太麻烦了。 （3）对抽象矩阵：已知f(A)=0的，通过因式提取判断可逆、求逆矩阵。 （4）对高阶矩阵：用分块矩阵化简计算 （5）对数值型分块对角阵： （6）对抽象分块对角阵：先证明可逆，然后假设逆矩阵的形式，通过恒等式求解逆矩阵。 例题：

1.6 方阵的行列式

性质： （1）A和A的转置的行列式相等 （2）如果行列式有两行/列元素相等或成比例，那么行列式的值为0 （3）奇数次行/列对换变换改变行列式的符号 （4）行/列倍加变换不改变行列式的值 （5）用k乘行列式，相当于将行列式中某一行或某一列的元素乘以k （6）某一行/列的公因数可以提到外面： （7）行列元素可以拆分： （8）上/下三角行列式的值： 等于主对角线上元素的连乘积 （9）分块对角矩阵的值：等于主对角线上分块行列式的连乘积： （10）乘法定理： （11）按行展开/按列展开： （12）n阶行列式的展开式有n!项。每一项是A的不同行不同列的各元素之积，即 其中 为1到n的一个一元排列，每一项前面的正负号取决于这个排列的逆序数。 （13）当i≠j时，第i行元素与第j行的代数余子式（也就是不匹配的）乘积之和为0。引入克罗内克符号： 则： 计算： （1）用定义、性质 （2）数字型：用倍加变换，变成三角矩阵，然后求主对角线元素乘积 （3）字母型：按行/列展开、数学归纳法、递推法 伴随矩阵： 伴随矩阵性质： 如果|A|≠0，则称A为非奇异方阵。 例题

1.7 矩阵的秩

矩阵A的k阶子式：任取k行k列按原来的顺序组成的k阶行列式 A的秩：A中所有不为0的子式的最高阶数，记为r(A)。零矩阵的秩为0 性质： 求秩： （1）利用定义 （2）行阶梯型矩阵的秩=它的非零行数 （3）如果A和B等价，那么r(A)=r(B) （4）P,Q可逆时：r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)

参考文献

陈建龙,周建华,张小向,韩瑞珠,周后型.线性代数（第二版）