如何通俗易懂地解释「协方差」与「相关系数」的概念？ 信托理财是什么意思呀知乎文章怎么写的

最喜欢通俗易懂地解释一个事情。

一、协方差：

可以通俗的理解为：两个变量在变化过程中是同方向变化？还是反方向变化？同向或反向程度如何？

你变大，同时我也变大，说明两个变量是同向变化的，这时协方差就是正的。

你变大，同时我变小，说明两个变量是反向变化的，这时协方差就是负的。

从数值来看，协方差的数值越大，两个变量同向程度也就越大。反之亦然。

咱们从公式出发来理解一下：

Cov(X,Y)=E[(X-mu _{x})(Y-mu _{y})]

公式简单翻译一下是：如果有X,Y两个变量，每个时刻的“X值与其均值之差”乘以“Y值与其均值之差”得到一个乘积，再对这每时刻的乘积求和并求出均值（其实是求“期望”，但就不引申太多新概念了，简单认为就是求均值了）。

下面举个例子来说明吧：

比如有两个变量X,Y，观察t1-t7（7个时刻）他们的变化情况。

简单做了个图：分别用红点和绿点表示X、Y，横轴是时间。可以看到X，Y均围绕各自的均值运动，并且很明显是同向变化的。

这时，我们发现每一时刻X-mu _{x}的值与Y-mu _{y}的值的“正负号”一定相同（如下图：比如t1时刻，他们同为正，t2时刻他们同为负）：

所以，像上图那样，当他们同向变化时，X-mu _{x}与Y-mu _{y}的乘积为正。这样，当你把t1-t7时刻X-mu _{x}与Y-mu _{y}的乘积加在一起，求平均后也就是正数了。

如果反向运动呢？

很明显，X-mu _{x}的值与Y-mu _{y}的值的“正负号”一定相反，于是X-mu _{x}与Y-mu _{y}的乘积就是负值了。这样当你把t1-t7时刻X-mu _{x}与Y-mu _{y}的乘积加在一起，求平均的时候也就是负数了。

当然上面说的是两种特殊情况，很多时候X，Y的运动是不规律的，比如：

这时，很可能某一时刻X-mu _{x}的值与Y-mu _{y}的值乘积为正，另外一个时刻X-mu _{x}的值与Y-mu _{y}的值乘积为负。

将每一时刻X-mu _{x}与Y-mu _{y}的乘积加在一起，其中的正负项就会抵消掉，最后求平均得出的值就是协方差，通过协方差的数值大小，就可以判断这两个变量同向或反向的程度了。

所以，t1-t7时刻中，X-mu _{x}与Y-mu _{y}的乘积为正的越多，说明同向变化的次数越多，也即同向程度越高。反之亦然。

总结一下，如果协方差为正，说明X，Y同向变化，协方差越大说明同向程度越高；如果协方差为负，说明X，Y反向运动，协方差越小说明反向程度越高。

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一般的同学看到above the line的内容就ok了。但有一些爱钻研的同学，可能会进一步提问：

那如果X，Y同向变化，但X大于均值，Y小于均值，那X-mu _{x}与Y-mu _{y}的乘积为负值啊？这不是矛盾了吗？

那就继续往下看……

这种情况是有可能出现的，比如：

可以看到，t1时刻，X-mu _{x}与Y-mu _{y}的符号相反，他们的乘积为负值。

但是，总体看，这两个变量的协方差仍然是正的，因为你还要计算t2，t3……t7时刻X-mu _{x}与Y-mu _{y}的乘积，然后再把这7个时刻的乘积求和做均值，才是最后X，Y的协方差。1个负、6个正，显然最后协方差很大可能性是正的。

所以t1时刻X-mu _{x}与Y-mu _{y}的乘积为负值，并不能说明他们反向运动，要结合整体的情况来判断。

那么你可能又要问了，既然都是同向变化，那t1时刻X-mu _{x}与Y-mu _{y}的乘积为负值、其他时刻乘积为正的这种情况，与，t1-t7时刻X-mu _{x}与Y-mu _{y}的乘积均为正值的情况，到底有什么差异呢？这点其实前面也解释过了，差异就是：第一种情况的同向程度不如第二种情况的同向程度大（第一种情况6正1负，第二种情况7正，所以第一种情况的协方差小于第二种情况的协方差，第一种情况X，Y变化的同向程度要小于第二种情况）。

另外，如果你还钻牛角尖，说如果t1，t2，t3……t7时刻X，Y都在增大，而且X都比均值大，Y都比均值小，这种情况协方差不就是负的了？7个负值求平均肯定是负值啊？但是X，Y都是增大的，都是同向变化的，这不就矛盾了？

这个更好解释了：这种情况不可能出现！

因为，你的均值算错了……

X，Y的值应该均匀的分布在均值两侧才对，不可能都比均值大，或都比均值小。

所以，实际它的图应该是下面这样的：

发现没有，又变成X-mu _{x}与Y-mu _{y}的符号相同的情况了～有没有种被大自然打败的感觉～

好了，现在，对于协方差应该有点感觉了吧？

二、相关系数：

对于相关系数，我们从它的公式入手。一般情况下，相关系数的公式为：

翻译一下：就是用X、Y的协方差除以X的标准差和Y的标准差。

所以，相关系数也可以看成协方差：一种剔除了两个变量量纲影响、标准化后的特殊协方差。

既然是一种特殊的协方差，那它：

1、也可以反映两个变量变化时是同向还是反向，如果同向变化就为正，反向变化就为负。

2、由于它是标准化后的协方差，因此更重要的特性来了：它消除了两个变量变化幅度的影响，而只是单纯反应两个变量每单位变化时的相似程度。

比较抽象，下面还是举个例子来说明：

首先，还是承接上文中的变量X、Y变化的示意图（X为红点，Y为绿点），来看两种情况：

很容易就可以看出以上两种情况X，Y都是同向变化的，而这个“同向变化”，有个非常显著特征：X、Y同向变化的过程，具有极高的相似度！无论第一还是第二种情况下，都是：t1时刻X、Y都大于均值，t2时刻X、Y都变小且小于均值，t3时刻X、Y继续变小且小于均值，t4时刻X、Y变大但仍小于均值，t5时刻X、Y变大且大于均值……

可是，计算一下他们的协方差，

第一种情况下：

[(100-0) imes (70-0) +( -100-0) imes ( -70-0)+(-200-0) imes (-200-0)...]div 7approx 15428.57

第二种情况下：

[(0.01-0) imes (70-0) +( -0.01-0) imes ( -70-0)+(-0.02-0) imes (-200-0)...]div 7approx 1.542857

协方差差出了一万倍，只能从两个协方差都是正数判断出两种情况下X、Y都是同向变化，但是，一点也看不出两种情况下X、Y的变化都具有相似性这一特点。

这是为什么呢？

因为以上两种情况下，在X、Y两个变量同向变化时，X变化的幅度不同，这样，两种情况的协方差