非常奇妙：黄金分割率、斐波那契数列、杨辉三角与易经河洛的关系 黄金分割将整体一分为二

黄金分割率，是人们经常听到的一个比率，它非常的有趣，非常的奇妙，

黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值约为0.618。这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割。

他们的比率叫做：黄金分割率，

为了更好的了解这一常识，我们必须了解：斐波那契数列，

斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列、因数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardoda Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，

指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……

在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：F(0)=0，F(1)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n>=2，n∈N*）

在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从1963起出版了以《斐波纳契数列季刊》为名的一份数学杂志，用于专门刊载这方面的研究成果。

这个时候，我们来看看斐波那契数列与矩形面积的生成相关，由此可以导出一个斐波那契数列的一个性质。

斐波那契数列前几项的平方和可以看做不同大小的正方形，由于斐波那契的递推公式，它们可以拼成一个大的矩形。这样所有小正方形的面积之和等于大矩形的面积。则可以得到如下的恒等式：（如图）

这个时候，斐波那契数列和黄金分割率就联系了起来，

其实，我国古代的数学家，杨辉，发现了著名的杨辉三角，（如图）

那么我们就会想，我们古代的数学家是如何得到这些智慧呢？

其实，杨辉三角的排列，让人们更容易联系到易经的主要内容：

无极生太极，太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦，以此类推下去，每次生化出来，增加一个爻位。

六十四卦是什么，就是六爻卦，看到这里，杨辉三角和易经是联系起来的，

其中的联系，是把同样带有相同数目阴阳爻分类的卦归为一类，比如：

纯阳卦、纯阴卦卦各对应一数，

卦中有一个阴爻的对应一类，有多少个算多少，

卦中有一个阳爻的对应一类，有多少个算多少，

以此类推，（如下图）

那么杨辉三角和河图洛书直接关联的，

洛书、太极图中隐含的数学结构和黄金分割，

《大戴礼记·明堂篇》载文王之庙“明堂”设有“九室”，其数制是“二九四，七五三，六一八”，此即洛书。后人更以“二、四为角，六、八为足，左三右七，戴九履一，五居中央”示之。由此洛书的结构是很确定的。

洛书又称九宫图，为一三阶幻方，即每行数相加都是十五，但其实在的意义并不止此。将其中的偶数提取出来，即成如下图式：

直观此图，似乎并无特色。但按右旋结构，即可发现2+6=8，6+8=14，8+4=12，4+2=6，为方便起见，舍去10位数，只留个位数，即可发现其右旋结构为一加法序列，2+6=8，6+8=4，8+4=2，4+2=6，这一序列是循环的，按其左旋结构，则2×2＝4，4×2＝8，8×2＝16，6×2＝12，亦舍去10位数，即可发现其左旋结构为一乘法序列，2×2＝4，4×2＝8，8×2＝6，6×2＝2，这一序列也是循环的。事实上，2，6，8，4这一序列是斐波那契数列2（1，3，4，7，11……）的个位数的循环序列，2，4，8，6这一序列是等比数列2（1，2，4，8，16……）的个位数的循环序列。再将此图简化，即是如下图式：

对其略加调整，即是： 3 4 2 1

这一简单图式竟然包含着正旋为加法序列，反旋为乘法序列的奇妙结构，若不细思，实难发现。前又已述，加法表示事物之间距离较大的关系，乘法表示事物之间距离较小的关系，那么能否把二者协调起来呢，能不能找到一个既有加法序列的特点，使事物保持各自的特性，又有乘法序列的特点，使事物保持足够程度的相互联系呢了？

先设定1为为始数，斐波那契数列的特点是在a,b,c数列中a+b=c，而乘法数列的规律是b2=ac，设a=1，则1+b=c，b2=c，由此得到一个一元二次方程，

即b2－b－1＝0，则b1= ，b2=— 这正是黄金分割的比率。因此，黄金分割分割数列 ，1，1+ ……正好是同时符合加法序列与乘法序列两种序列特点的黄金分割序列。

左旋序列即在传统文化中颇有地位的“太极生两仪，两仪生四象，四象变八卦”的1，2，4，8……序列。

右旋序列即为西方数学家斐波那契所发现的一种斐波那契数列，即1，3，4，7……。

众所周知，斐波那契数列的特点是其相邻两数的比率无限地趋向黄金分割，表现出一种不断进化和选择的精神。而乘法序列则是按照一个固定的比率无限地裂变，体现了稳定的遗传牲。乘法序列还体现了一种平等原则，1分为2，2之中每个1都是完全一样的，是平等的。而加法序列则体现了一种自性（或自由）原则，合二为一，一之中两个数（c=a+b）是不均匀的，保持着各自的特点。但乘法序列中的平等是同一等级之间的相互平等，不同等级之间是不平等的，加法序列则没有明显的等级关系，前一等级中的大数又构成后一等级中的小数，级差不太显著。黄金分割序列则是自由原则与平等原则，均匀与非均匀的同一，是圆满而又完美的序列，它既代表了一分为二的裂变而生的简单的单性生殖，又代表了合二为一的和合而生的复杂的双性繁殖，是潜藏的美妙结构。

这一玄妙的结构是如何产生的呢，是出于偶然的数学游戏还是必然的宇宙结构，其实按照中国的传统思想，这一结构是非常自然的。