黄金分割(黄金比例) 黄金分割图画法

折叠 无限不循环小数

a，b

a：b=(a+b)：a

通常用希腊字母Φ表示这个值。

支二确切值为（√5-1）错操友越术攻万板固磁乡/2(x^2+x-1=0的一个根）

黄金分割数前面的2000位为：

0.6180错存干征氢款盟339887 4989484820 4586834365 6381177203 0917980576

2862135448 6227052604 6281890244 9707207204 1893911374

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7263544333 8908659593 9582905638 3226613199 2829026788

0675208766 8925017116 9620703222 1043216269 5486262963

136144集件存关散3814 9758701220 3408058879 5445474924 6185695364

8644492410 4432077134 4947049565 8467885098 7433944221

2544877066 4780915884 6074998871 2400765217 0575179788

3416625624 9407589069 7040002812 1042762177 1117778053

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7845878228 9110976250 0302696156 1700250464 3382437764

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1076738937 6455606060 5921658946 6759551900 4005559089

5022953094 2312482355 2122124154 4400647034 0565734797

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9684249362 7135925187 6077788466 5836150238 9134933331

2231053392 3213624319 2637289106 7050339928 2265263556

2090297986 4247275977 2565508615 4875435748 2647181414

5127000602 3890162077 7322449943 5308899909 5016803281

1219432048 1964387675 8633147985 7191139781 5397807476

1507722117 5082694586 3932045652 0989698555 6781410696

8372884058 7461033781 0544439094 3683583581 3811311689

9385557697 5484149144 5341509129 5407005019 4775486163

0754226417 2939468036 7319805861 8339183285 9913039607

2014455950 4497792120 7612478564 5916160837 0594987860

0697018940 9886400764 4361709334 1727091914 3365013715

折叠 三角形的黄金比

正五边形对角线连满后出现的所有三角形，都是黄金分割三角形。

黄金分割三角形有一个特殊性，所有的三角形都可以用四个与其本身全等的三角形来生成与其本身相似的三角形，但黄金分割三角形是唯一一种可以用5个而不是4个与其本身全等的三角形来生成与其本身相似的三角形的三角形。由于五角形的顶角是36度，这样也可以得出黄金分割的数值为2sin18°（即2*sin(π/10)）。

将一个正五边形的所有对角线连接起来，所产生的五角星里面的所有三角形都是黄金分割三角形。

折叠 黄金矩形

若矩形的宽与长的比等于（√5-1）/2≈0.618，那么这个矩形称为黄金矩形（又称根号矩形）。

折叠 黄金比的分割线

由黄金分割点联想到“黄金分割线”，并类似地给出“黄金分割线”的定义：直线L将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1、S2，如果S1：S=S2：S1，那么称直线L为该图形的黄金分割线。

折叠 黄金比与数列的关系

让我们首先从一个数列开始，它的前面两个数是：1、1，后面的每个数都是它前面的两个数之和。例如：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144…..这个数列的名字叫做“斐波那契数列”，这些数被称为“斐波那契数”

斐波那契数列与黄金分割有什么关系呢？经研究发现，相邻两个菲波那契数的比值是随序号的增加而逐渐趋于黄金分割比的。即f(n)/f(n+1）-→0.618…。由于斐波那契数都是整数，两个整数相除之商是有理数，所以只是逐渐逼近黄金分割比这个无理数。但是当我们继续计算出后面更大的斐波那契数时，就会发现相邻两数之比确实是非常接近黄金分割比的。

一个很能说明问题的例子是五角星/正五边形。五角星是非常美丽的，中国的国旗上就有五颗，还有不少国家的国旗也用五角星，这是为什么？因为在五角星中可以找到的所有线段之间的长度关系都是符合黄金分割比的。

折叠 分数与根式

设x为黄金比，便有

。将

带入到方程右边得

。按这种方法同样做得

；以此类推，可得无穷连分数：

。对等式进行类似的代替

折叠 尺规作图

1、设已知线段为AB，过点B作BC⊥AB，且BC=AB/2；

2、连结AC；

3、 以C为圆心，CB为半径作弧，交AC于D；

4、以A为圆心，AD为半径作弧，交AB于P，则点P就是AB的黄金分割点。

事实上，在一个黄金矩形中，以一个顶点为圆心，矩形的较短边为半径作一个四分之一圆，交较长边于一点，过这个点，作一条直线垂直于较长边，这时，生成的新矩形（不是那个正方形）仍然是一个黄金矩形，这个操作可以无限重复，产生无数个的黄金矩形。

折叠 例题

（1）要设计一座2m高的维纳斯女神雕像，使雕像的上部AC（肚脐以上）与下部BC（肚脐以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，即点C（肚脐）就叫做线段AB的黄金分割点，这个比值叫做黄金分割比．试求出雕像下部设计的高度以及这个黄金分割比？（结果精确到0.001）

解：设维纳斯女神雕像下部的设计高度为xm，那么雕像上部的高度为（2-x）m．

依题意，得 （2-x）/x=x/2

x=-1+√5≈1.236或x=-1-√5（不合题意，舍去）．

经检验，x=-1+√5 是原方程的根．

答：维纳斯女神雕像下部的高度为1.236m．

故这个黄金分割比为：（-1+√5）/2 ≈0.618．

（2）一般认为，如果一个人的肚脐以上的高度与肚脐以下的高度符合黄金分割，则这个人好看．一个参加空姐选拔活动的选手，其肚脐以上部分长65cm，以下部分长95cm。那么她应该穿多高的鞋子好看？（精确到1cm）[参考数据：黄金分割数为（√5-1）/2，√5≈2.236]

解：设她应该穿xcm的鞋子，依题意得：

（95+x）/（160+x）=（√5-1）/2

解得x≈10．

答：她应该穿约10cm高的鞋好看