五角星竟然也暗含黄金分割？ 黄金分割点尺规作图证明

上到菲波那契数列，下到我们常见的五角星，竟然都暗含黄金分割，这就是数学之美。

1五角星图形

我国的国旗、国徽、军旗、军徽都采用了五角星图案(一些其他国家也是如此)。而发现黄金矩形的毕达哥拉斯学派的会徽也是一个五角星，每个会员都佩带一个五角星标记的徽章。为什么五角星会成为众多民族喜爱的图形？正五角星图形到底具有哪些美感呢？

五角星的形成来自于大自然(如五角星形花瓣)，它也和大自然一样，既有美妙的对称也有扣人心弦的变化。

图1

将圆周分成五等分，依次隔一个分点相连，则可一笔画成一个图形，即成一个正五角星形(如图1)。首先，在连接的过程中就让人惊异于形成图形的奇妙(奇异的美)；而连成的图形又具有如此明显的对称性(对称的美)！五角星美的核心是五条边相互分割成黄金比(如图中F、G是AC的黄金分割点)，这是一种最匀称的比，能给人产生美的原动力。

因此，五角星形具有如此巨大的魅力，成为世人所喜爱的图形。

2黄金图形

请看下面的几种黄金图形。

黄金矩形：宽与长之比为黄金数的矩形。对黄金矩形依次舍去所作的正方形，可得到不断缩小的黄金矩形序列(如图2)。

黄金三角形：分两类，第一类是底与腰之比为黄金数的三角形，如图3中的△ABC，△BCD，△DEC，……组成不断缩小的三角形序列；第二类是腰与底之比是黄金数的三角形，如图4中的△ABC，△DAB，△EBD，……也组成不断缩小的黄金三角形序列，前述的埃及胡夫金字塔，其正投影即为此类黄金三角形。

图2

图3

黄金椭圆：短轴与长轴之比为黄金数的椭圆(如图5)。它的面积与以它的焦距为直径的圆的面积相等：它的离心率的平方也是黄金数。

黄金双曲线：实半轴与半焦距之比为黄金数的双曲线(如图6)。它的离心率的倒数也是黄金数。

这些黄金图形使人看起来赏心悦目，是同类图形中最和谐、优美的图形。

图4

图5

图 6

3将黄金数表示为连分数

由线段的黄金比

有

对等式右边分母中的x又以1/(1+x)代替，可得

依次类推，可得连分数：

这样一个简洁的连分数给人以有序而无穷的印象，使人具有不言而喻的美感，黄金数与连分数之间竟有如此迷人的联系，怎不让人惊叹！

4 菲波那契数列

13世纪意人利数学家菲波那契在他的《算盘经》的修订版中增加了一道著名的免子繁殖问题，为黄金分割大放异彩。

问题是一对兔子每一个月可以生一对小兔，那么，从刚出生的对小兔算起，满一年可以繁殖多少对兔子？

图7 六个月兔子繁殖图

则由第一个月到第十二个月兔子的对数分别是：1，1，2，3，5，8，13， 21，34，55，89，144，这个数列称为菲波那契数列。这个数列的一个特点是从第3项起，每项等于它的前两项之和

其通项公式为

奇妙的是公式中含有无理数根号5，而n用正整数代入时，所得的结果却都是正整数：另一出人意料的是，相邻两项的比Fn/Fn-1，当n趋于无穷大时，它的极限恰好是

菲波那契数列具有特殊、神秘的魅力。难怪近年国外出版了一种《菲波那契数列》杂志，专门发表有关这个数列的新发现和新用途的文章，使得菲波那契数列的研究长盛不衰，生生不息。

作者：数学经纬网

特别