凸性在债券定价中的作用 众所周知，债券的价格和到期收益率之间是反比关系，到期收益率的变化必然会导致债券的价格随之变化。而衡量债券的价格和到期收益...  债券与利率之间的公式

来源：雪球App，作者： 市川新田三丁目，（https://xueqiu.com/3776526626/138792929）

众所周知，债券的价格和到期收益率之间是反比关系，到期收益率的变化必然会导致债券的价格随之变化。而衡量债券的价格和到期收益率之间敏感度的指标是久期。

常见的久期指标有两种，即麦考利久期和修正久期，修正久期是麦考利久期这个概念的延伸，是在麦考利久期的基础上考虑了票息的付息频率之后产生的，因为有的债券会一年付息两次甚至多次。

如果一只附息债券的付息频率为每年一次，该券的麦考利久期和修正久期相等。

不管是麦考利久期还是修正久期，都是以年来表示，衡量的都是在一只债券的到期收益率发生一定幅度变化的情况下，债券价格相应变化的幅度。

下面通过具体的计算过程看一下修正久期是否能够完美地衡量债券价格的敏感度变化，以及另一个债券价格敏感度指标——凸性在债券定价过程中是如何发挥作用的。

假设一只债券的基本要素如下：

各期票息现金流如下：

债券的现价计算公式如下：

根据以下的贴现因子计算公式计算各期现金流的贴现因子。

有了贴现因子，就可以计算各期票息现金流的现值，各期票息现金流的现值=各期票息现金流*贴现因子

为了计算久期和凸性，还需要计算一下这些指标：

计息期*各期票息现金流的现值

(计息期*(1+计息期)*各期票息现金流的现值)/((1+到期收益率/付息频率)^2)

所有10个计息期的(计息期*(1+计息期)*各期票息现金流的现值)/((1+到期收益率/付息频率)^2)的和

麦考利久期的计算公式如下：

用以下公式计算修正久期：

拥有了以上的计算结果还可以计算凸性，凸性的计算公式：

为此需要先计算：Σ((计息期*(1+计息期)*各期票息现金流的现值)/((1+到期收益率/付息频率)^2))

最后可以看到在到期收益率为4%的时候，该券的修正久期为4.491年。按照修正久期的定义，如果到期收益率上行1%，该券的价格将下跌4.491%；反之，如果该券的到期收益率下行1%，该券的价格将上涨4.491%。

假设该券的到期收益率发生变化，涨跌幅度各为0.10%，该券的价格会如何变化？以下是用债券现价公式计算出来的不同收益率水平所对应的债券实际价格。

如果不借助债券现价计算公式，而是根据修正久期对债券价格进行修正，修正后的结果是否与债券现价计算公式的结果相符呢？

在此将根据修正久期对债券价格进行调整后的债券价格定义为到期收益率变动后的债券现价的理论值，公式为：

到期收益率变动后债券现价的理论值（根据修正久期对债券价格进行调整）=债券现价*(-1*到期收益率的变动幅度*修正久期+1)或

如果到期收益率上行0.10%至4.1%，该券价格的理论值应等于100*（-1*4.491%*0.10%+1）=99.551；如果收益率下行0.10%至3.9%，该券价格的理论值应等于100*（-1*4.491%*-0.10%+1）=100.449。

可以看到与债券现价公式计算出来的结果99.552和100.450基本相符，有一点误差，但误差不大。

下表显示的是当该券的到期收益率的波动区间为3.5%至4.5%时，债券现价的理论值（根据修正久期对债券的原价格进行调整后的结果）和实际值（根据债券价格计算公式计算的结果）之间的误差。

误差情况显示在下图

但问题是，当到期收益率发生幅度较大的变动，债券现价的理论值和实际值之间的误差会达到何种程度？

可以看到，在到期收益率发生幅度较大的变动后，债券现价的理论值和实际值之间的误差会变得很大，比如当到期收益率升至8%的情况下，债券现价的理论值与实际值之间的误差达到1.743元，这个误差水平差不多达到债券价格的2%（1.743/83.778=2.08%）！

这个误差幅度说明修正久期无法准确的反应债券价格随着收益率变化的程度，原因何在？请看下图，可见债券价格的波幅与收益率波幅之间其实并非线性关系，也就是说虽然收益率的波幅是固定的，但债券价格的变动幅度却并不一致。

但在收益率变化幅度不大的情况下，这种非线性关系表现得不是很明显，很容易让人误以为债券价格与收益率之间的涨跌幅度一致，见下图：

这就说明，在到期收益率变动幅度不大的情况下，修正久期可以被用于修正债券的价格，修正的误差比较小；但在到期收益率变动幅度较大的情况下，仅凭修正久期对债券价格进行调整是不够的，因为该做法存在较大的缺陷。

由于修正久期无法在任何情况下均能完美解释债券理论值和实际值之间误差的原因是因为债券价格的波幅与收益率波幅之间并非线性关系，因此需要借助凸性这个概念对债券的价格进行更加精确的修正。

凸性的计算公式如下：

在引入凸性这个指标后，债券现价的调整公式如下：

收益率变动后的债券现价=收益率变动前的债券现价*（-1*修正久期*收益率的波幅+0.5*收益率的波幅^2*凸性+1）

下表为对凸性进行调整前后债券现价的理论值和实际值之间的误差对比，可见在根据凸性这个概念后对债券价格调整的结果更接近于根据债券现价计算公式得出的实际值。