第八篇：债券投资 债券到期利率怎么算利息

上期专栏，我们简要的探讨了利息的本质，这个复杂的哲学问题我们就到此为止了。现在让我们从形而上学的云端落地，看看这个现实的世界。目前来说毕竟是一个自由市场经济的社会，我们就在这个语境下讲一下在市场经济中收取利息，怎么收取利息是合理的。相信我，这部分要简单的多。而且在了解利率的基础上，我们可以初探债券投资的奥秘。

在现代的金融学基础中有一个很重要的假设，未来的钱不如现在的钱值钱，也就是明年的100元肯定不如今年的100元划算，这里头有两种比较主流的解释。

第一种是美国著名经济学家费雪提出的“人性不耐”假说。费雪认为人们总是短视的，是偏好当期大于现在的，总是倾向于当期享受。比如说有两个选择，马上吃一顿大餐还是明天再吃，肯定是前一种更符合人性，所以明天的一顿大餐和今天比起来，其效用就要打折扣。如果需要让人们选择明天再消费，那么必须再补偿一点什么，比如多一分餐后甜点之类的，这就好比是利息，一种补偿。所以在费雪眼里，利息就是对人性不耐的一种补偿。

第二种解释就是经济学里著名的机会成本的概念，机会成本，opportunity cost，不同于我们通常理解的成本。举个例子比较好明白，假设有两个投资机会，投入成本均是100元，机会1可以得到150元，机会2可以得到120元。从正常角度理解，不论是机会1还是机会2都是赚钱的，但在经济学眼中，机会2是亏钱的。因为投资者完全有机会选择更好的机会1，这就是机会成本的概念，由于你放弃了最好的机会带来的成本。比如对于机会2，会计成本，也就是我们常计算的成本而言，就是我们投入的100元。但是机会成本是150元，就是所有选择中最优的那个，机会2看似赚了20元，但实际从机会成本的角度考虑是亏损了30元。

对于我们手中的货币而言也是如此，如果我们不选择当期消费而是借贷出去，必须考虑的是机会成本，也就是如果我借给你不收取利息，我最起码还可以放在银行收取无风险的利率，这就是手中货币的机会成本，为了补偿我这部分损失，利率至少不能低过银行的无风险利率。

不论是人性不耐还是机会成本，现代经济学都是承认未来的一块钱不如现在的一块钱，那么该如何比较今天的一块钱和未来一块钱差了多少呢。要用到一个核心的概念，现值（present value）。

在生活中，我们通常有两种计算利息的方式，单利法与复利法。

对于年利率10%而言，单利法就是本金 imes 利率 imes时间。

以100元为例，三年单利到期本息为：100 imes10% imes3+100=130元。

这里利息是不再生息的，所以称之为单利法，现实生活中更常用的是复利，也就是利息可以生息。以同样的本金与期限为例，复利法计算如下。

第一年到期时，本金100元，第一年利息100 imes10%=10，本息共计110元。

第二年则共计投入110计算本息，第二年到期时本金110元，利息110 imes10%=11元，本息共计121元。

第三年投入121元，同理到期时本金121元，利息12.1元，本息共计133.1元。

这样计算利息三年下来比单利法的130元多出3.1元，原因在于利息是可以生息的。用金融学的话来说，利息也是有机会成本的。

复利这个概念可以说是财富的核心秘密，鲁迅曾经说过：“爱因斯坦曾说“复利是人类的第八大奇迹””。这句广为流传的名人语录却也道出了复利的威力。另一个广为流传的鸡汤是如果你每天进步1%，那么 （1+0.01）^{365}=37.8 ；每天退步1%， （1-0.01）^{365}=0.03 。

复利这里最实际的例子就是巴菲特了，其实巴菲特平均每年也就赚20%左右，但是持续赚钱近60年，巴菲特的财富就接近世界首富了，所以在金融常说，不要去追求短期几倍的机会，而是要找寻长期每年合理增长的水平。总之，复利是财富的核心，关于复利、股票与财富的秘密，可以看本人拙作

说完了复利，我们继续回来说现值。既然大家明白了如何计算复利，其实也就明白了如何计算现值。还是以100元本金，10%年化利率为例。

通过我们刚才的计算可以知道，一年后的100元至少是 100 imes(1+0.1)^1=110 ；

两年后的100元至少是100 imes(1+0.1)^2=121；

三年后100元至少是100 imes(1+0.1)^3=133.1

n年后，100元就是100 imes(1+0.1)^n

这种计算方法其实叫终值，future value，就是现在的钱在未来是多少钱。总结一下

现值PV imes（1+利率）^n=终值FV

把终值的计算反过来就是现值，同样的条件下，一年后的110元，就相当于现在的100元。

两年后的121元，就是现在的100元。

N年后的钱，就需要除以 （1+利率）^n 得到现值。这个过程就叫贴现，discount，未来的钱到贴到现在是要打折的。（1+利率）^n就叫贴现因子，这里的利率也可以叫贴现率。现值乘以贴现因子就是终值，终值除以贴现因子就是现值。

有了现值的计算，我们就可以比较未来的现金。如果在利率是10%的情况下,一年后的120元和两年后的130元该如何权衡？

一年后120元的现值是 120div（1+0.0）^1approx109 ；

两年后130元的现值是130div（1+0.1）^2approx107

所以应该选择第一种机会。如果利率也就是贴现率变为5%呢？

一年后120元的现值为120div（1+0.05）^1approx114

两年后130元的现值是 130div（1+0.05）^2approx118

这时应该选择第二种机会。可以看到，贴现率也就是利率影响着现值的大小，究其原因就是贴现率是一种机会成本，如果当期利率很高，表明货币的机会成本很高，那么未来的现金就没那么值钱，当期贴现率很低，未来的现金就会值钱。

有了现值计算的基础，读者朋友应该可以计算简单的投资机会了，大家有了机会成本的视角，可以好好比较一下手里的各种投资机会哪个合算了，但是大家肯定有一个疑问，这里的利率也就是贴现率，是由什么决定的？我计算现值时，未来的现金流应该用多少贴现率往回贴呢？

现值，虽然是金融的基础概念，但是掌握了现值的计算就已经可以理解金融产品的估值是如何进行的，不论是高大上的华尔街投行，还是上市公司的任何投资决策，都是以现值计算为基础的。有了这个基础，我们讲解一下债券投资，其实思路是非常简单的，债券每年的利率是购买时约定好的，我们称之为票面利率，本金是确定的，因此未来每年可以获得的现金流是确定的，我只要计算出这些现金流的现值与购买价格进行比较，如果现值高于购买价格，说明我这笔投资是赚钱的，如果现值低于购买价格，这笔投资则是亏损的。

我们已经知道未来的一块钱不如今天的值钱，未来的现金如果要与今日的现金比较，需要进行贴现计算现值。假设我购买了一张三年期，每年票面利率10%，面值100元的债券。我未来每年会获得的现金流是：第一年末的10元利息，第二年末的10元利息以及第三年末的10年利息和本金100元。我现在想计算一下这张债券的现在价值是多少钱，很简单，对每一期的现金流贴现即可，我们这里复习一下。

假设贴现的利率与票面利率相等，也取10%，则债券的现值： PV=10/(1+0.1)+10/(1+0.1)^2+110/(1+0.1)^3=100元

与票面价格相等，不亏不赚。如果贴现率变高了呢？由于贴现率在分母上，分母变大了，由于每一期的现金流不会改变，则债券价格实际上下跌了。

有点晕，这里实际要区分两个利率，一个是票面利率，就是购买债券或者存款时承诺的每一期的利率，一个是贴现率，这两个是不一样的。初学金融学时这里是比较容易迷惑的一个地方，我们之所以讲解完现值开始讲解贴现率的选取，就是为了说明白这个问题，贴现率的选取是估值技术的核心。

还是举一个例子，假设我们还是购买了刚才一张三年期，每年票面利率10%，面值100元的债券，假设这张是无风险的国债，现在的无风险利率也是10%。这时候贴现率取10%，通过刚才同样的计算可以知道这张债券值100元，也就是票面价格。

但是，我假设一个极端的情况，假设我们运气非常差，在买入的一天后，市场上的无风险利率上升了1%，到达了11%，请问我现在手里的债券还值100元吗？我们套用现值公式继续计算一下，由于每一期现金流并没有改变，债券现值: PV=10/(1+0.11)+10/(1+0.11)^2+110/(1+0.11)^3=97.55元

我们发现手里的债券不值100块钱了，我们这笔投资亏损了2.45元，为什么呢？因为贴现率从原来的10%变到了现在的11%，分母变大分子不变，结果必然变小。那为什么我们不用票面利率进行贴现呢？很简单，因为如果在11%的无风险利率下，投资者购买无风险利率的债券要求每年的回报就会是11%而不是10%。假如我们现在拿着这张债券到市场上进行出售，市面上均是年回报11%的无风险债券，我们这张只有10%，当然要打折了。或者这么理解，不论名义利率是多少，每年的收益都是无风险的，这个无风险的利息收益应该使用票面利率贴现呢还是应该使用现在的无风险利率进行贴现呢？当然是后者，其实票面利率并不重要，票面利率仅仅可以帮助我们计算每年现金流是多少而已，这个现金流在现在值多少钱是由贴现率说的算的。在这种情况下，我如果只问你明年的十块钱现在值多少钱，你当然会使用11%进行贴现，这跟票面利率是没有任何关系的。

这个例子有两点值得展开说一下，第一点，票面利率与贴现率是两码事，票面利率仅仅计算每年现金流，美国的一年期国债压根就不付息，比如面值100元的国库券，无风险利率为10%，这张债券的发行价格就是 100/(1+0.1)=90.9元 ，也就是说，投资者当期以90.9元的价格买入，到期收回本金100元。这张债券连票面利率都没有，应该采用什么贴现率呢，由于每年的现金流是无风险的，那么贴现率必然是无风险的。

所以第二点非常重要，现金流的贴现率必须与现金流的风险相匹配。说一个极端的例子，如果隔壁小张借你100块去赌博，说明年还你150元，这笔投资的票面利率达到了50%。但是这笔投资的风险非常大，这100元很有可能有去无回，如果我们使用10%的无风险利率进行贴现，就会得到该投资现在价值 pv=150/(1+0.1)=136.36元 。相当于我们净赚36.36元，要知道金融市场的第一大原则就是没有免费的午餐，你是不可能得到这种免费赚36.36的机会的。问题出在哪里了，就在于贴现率，实际上这笔投资的风险非常大，不是无风险的，我们使用的贴现率应该与其风险相匹配，如果你了解小张的赌术，觉得要求50%的回报率是合理的，那么采用50%的贴现率 pv=150/(1+0.5)=100 ，即小张的要求是合理的。如果你认为这比投资你需要60%的回报，那么现值 pv=150/(1+0.6)=93.75元 ，低于这笔投资的花费100元，对你而言是亏损的。

上面的贴现中，对于这笔投资要求多少回报，就是用了多少进行贴现，这正是收益与风险匹配的表现。如果现金流是没有风险的，那理应要求的回报就是无风险收益率，如果像小张借我钱去赌博，我对这笔投资的要求回报率高一些是非常合理的。如果我们再回过头看一下现值公式就会发现，如果我们知道了债券现在的价格，知道了每一期的现金流，公式里唯一的未知数是贴现率，我们可以通过债券现在的价格反解出贴现率，这个贴现率就是债券的实际收益率。假设一张无风险的一年期债券，一年后还款110元，现价100元，我们是可以使用100=110/(1+r)反解出贴现率为10%，也就是说如果现值为100，债券的实际收益率是10%。假设市场上的无风险利率为9%，对于这笔投资是稳赚10%而言，当然是合算的。

其实比较现值和比较贴现率是一回事，一个等式中三个变量，未来现金流，现在价格，贴现率，给出两个必然能解出另外一个。一般通过债券现在价格和未来现金流反解出的贴现率称之为到期收益率，表明这张债券到期的实际收益率，金融市场上一般都是以到期收益率来标注价格的。如果比我的要求收益率高，那当然是合算的，如果比我的要求收益率低，那必然我是不愿意投资的。

这篇文章稍微有一点绕，我最后再总结一下：首先，票面利率仅仅帮助我们计算每一期的现金流而已，对于债券价值几何并不重要；其次，通过债券现在的价格和每一期的现金流，我们可以计算出贴现率也就是到期收益率。我们通过评估现金流的风险得出我们要求的回报率，与这个债券的到期收益率进行比较，从而判断出我们的投资机会。

事实上，我们今天才真正理解了利率，金融市场里谈到的利率其实是各个资产的到期收益率，我们下一期开始，就要谈谈这个到期收益率是如何匹配风险的。