彻底搞懂到期收益率、久期与凸性的原理

搞债券的人肯定离不开对到期收益率、久期与凸性这些核心概念的理解，业务人员还好，刀尖上舔血，得靠这个挣钱。IT人员可就难了，有些概念理解不透彻的话，一段时间不弄对这些概念又变得模糊了。

所以，你应该能明白我看到“彻底搞懂到期收益率、久期与凸性的原理”这么一篇文章的心情:-)

到期收益率、久期与凸性是初学固定收益时必学的“三件套”。它的原理既不像初学者以为的那么复杂，也不像有一定经验的朋友们以为的那么简单。

对这三个最基本概念的完整理解，很大程度决定了固收学习的后劲。如果忽略了很多关键节点与细节，很可能学到后面又要重新回来补课。所以，我们认为所有学习的过程，“为什么”比“是什么”更重要，是理解的关键。今天我们一次性把这三个基本概念的“为什么”与“是什么”讲清楚，下次课程将重点讲解这三件套的实务应用与投资组合管理应用。

引言

要聊债券，就必须从最基本的利率，计息与贴现说起。

狭义的利率指资金的价格即资金利率，广义的利率指固定收益类交易的收益率，包括资金利率、债券收益率、估值贴现率等。所以，在固收语境里，利率、收益率、贴现率，三者可以互相替代。收益率就是利率，也是贴现率，反之亦然。离开固收，这个替代关系不成立。例如债券交易可以看成用现在的现金流支出换将来现金流收入的交易，那么站在债券投资者的角度，债券投资的收益率自然也可以看成资金运用所获得的利率。

计息

狭义的计息是计算资金利息，广义的计息是将较早时点的钱换算到较晚时点。前年计息到去年，今年计息到明年，明年计息到后年，都是计息，计息起点不一定是现在。

利息的产生依赖计息方式与计息频率。

计息方式有两种：复利与单利。单利：利息的产生只基于本金不基于利息。复利：利息不仅基于本金还基于利息，即利滚利。

计息频率有年季月日时分秒瞬（瞬即连续复利）等。

贴现

贴现是计息的逆过程。把较晚时点的现金、资产等价值物的价格折算到较早时点，称为贴现，不局限于折算到今天。去年折算到前年、明年折算到今年、后年折算到明年，都是贴现。贴现的英文是discount，所以我们一直认为把贴现翻译成‘折算’更合理。

一、债券到期收益率

债券到期收益率是一个需要反复体会的概念，对它的理解一般会经过三个阶段：收益率就是收益率→收益率不是收益率→收益率还是收益率。

第一个阶段局限于并误解了其字面意思，第二个阶段发现它不是字面意思。第三个阶段认为它还是字面意思，但能完整认识到它的合理性与优缺点，并开始结合不同收益率指标综合运用。

债券到期收益率：假设投资者买入一只债券并能顺利持有到期的年化收益率，就是债券的到期收益率（Yield To Maturity，以下简称YTM）。

YTM有不同的定义，大家可以交叉参考一下，比如：1、票面利率（coupon rate）：债券的票面利率即债券券面上所载明的利率，在债券到期以前的整个时期都按此利率计算和支付债息。2、应计利息：应计利息是指自上一利息支付日至买卖结算日产生的利息收入，3、到期收益率：到期收益率（YTM）是使债券上得到的所有回报的现值与债券当前价格相等的收益率。4、凸性：是对债券价格利率敏感性的二阶估计，是对债券久期利率敏感性的测量。

这是一个基于如下假设条件的收益率：

发行人按时按量支付本息至债券到期。持有人生存并持有债券至到期。年化，而不是半年度化、季度化。年化的本质是平均，也就是把各年的收益率都平均成一个均值。对于债券定价，一年以上通常是复利贴现，一年及以下通常是单利贴现（衍生品另议），因为年化复利的意思就是计息间隔为年，年以下无复利只有单利。持有人将收到的每一期票息，都能按照YTM的复利再投资直至到期。

n年期债券的期初定价公式：

买债券就是用今天的现金流支出换未来的一系列现金流收入，所以定价的思路就是‘未来现金流今天值多少钱’，即贴现。

面值×票息率=每期票息金额。固息债的票息率不变，浮息债现在无法确定每期票息率，每次付息前一段时间（如提前1天、5天等）再确定下期票息。

前文提到，既然买债券是现在的现金流支出换未来现金流收入，那么其收益率也就可以类似看成付出资金的回报利率了，这也是为什么固收语境下，收益率就是利率。所以，如果你在研报、新闻里看到“XX债券的利率”，通常是指它的YTM，而不是票息率。只有明确提到票面利率、票息（率）、息票（率）、Coupon (Rate)时，才是指票面利率。这在英文固收语境里没有歧义，到期收益率会写清楚是Yield To Maturity, Yield, Redemption Yield（英国人喜欢这么说）, Book Yield。票息率会写清楚是Coupon Rate。中文的‘债券利率’容易有误会或歧义，注意辨析。

qeubee终端中的债券报价的到期收益率：

Bid：对方买盘报价的YTM（你想卖时看这个）

Ofr：对方卖盘报价的YTM（你想买时看这个）

如果对YTM的计算还是不清楚，可以再看一个例子：到期收益率、持有期收益率（Holding Period Return）和当期收益率（Current Yield）

和YTM相关联的还有两个概念：持有期收益率和当期收益率。

当期收益率又称直接收益率，是指利息收入所产生的收益，通常每年支付两次，它占了公司债券所产生收益的大部分。当期收益率=债券的年息/债券当前的市场价格，它并没有考虑债券投资所获得的资本利得或是损失，只在衡量债券某一期间所获得的现金收入相较于债券价格的比率。

持有期收益率是指你持有证券期间的买卖价差占买入价格的比率。持有期收益率是投资者投资于证券的综合收益率。

公式=（卖出价-买入价+期间利息）/买入价*365/持有天数

如刚才说的债券（某投资者2008年初以95元价格买入一张面值为100元、4年后到期的附息债券，如果息票利率为8%，每年末付息），95元买入，如果只持8个月，在市场上以100元卖出啦，那么持有期收益率=（100-95）/95*(12/8)=7.9%，注意这里因为一年才付息，没有涉及票息的问题。再举一个复杂例子：

例子：某种债券息票利率为7%，每半年支付一次利息，还有3年到期，当前的价格为101.2元。该债券的当期收益率是多少？如果投资者预期持有半年后能够以101.5元的价格卖出，持有期收益率是多少？

当期收益率好算，=7%*100/101.2=6.92%

如果预期半年后以101.5卖出，由于半年内获得了3.5元的利息收益和101.5-101.2=0.3元的价差收益，所以根据公式，持有期收益率为：（3.5+101.5-101.2）/101.2*0.5=7.51%

债券都是单利付息

对于债券，票息是单利支付，不按复利付息。看看1981年的国库券，背后写了四个大字“不计复利”。为什么？因为当票息已经支付，持有人当然没有理由就这笔目前已经收到的利息到了下一期还要再向发行人索取额外的利息。

债券的单利付息与复利贴现

既然票息是单利，那为什么公式里各项分母用复利贴现呢？

因为复利贴现只是一种统一规范的思维方式，方便用一个理性、合理、一致的方式思考各类资产的回报率。贴现方式与资产本身有没有现金回报、现金回报的形式都无关。比如黄金不产生任何现金流回报，我们计算它的回报率时仍然需要进行年化复利贴现，以方便与其它资产用相同的复利思考方式比较。比如10万黄金两年后升值到120万，设年复利回报率为x，那么我们通常计算为：

而不是20万/2年/100万=单利10%，以方便跨资产比较。

你说“我硬要用单利贴现行不行”？关起门来爱怎么算那是你的自由，但是要开门做交易、提交监管报表，导致交易对手看不懂单利贴现价格双方做不成生意、监管部门看到报表也一头雾水，最后咱们还是得老老实实用复利贴现计算。不过也有例外，将来学习利率互换估值等衍生品定价的时候，即便合约期限超过一年也会涉及到单利贴现。

债券YTM的不合理之处

债券YTM是一个简化到不合理、但是很方便的指标。不合理之处体现为：

1. YTM用同一个收益率去贴现不同时间点的票息，显然是不合理的。因为一年后、两年后等未来的利率水平肯定是波动的，怎么可能恒定不变呢？所以说YTM是一种各年平均收益率，而不是各个时点具体的收益率，即把各年收益率都算成一个统一的收益率均值了。要追求更合理的话，应该用未来各个时点的市场收益率去贴现。问题是现在怎么知道未来的收益率呢？我们又不是上帝。答案就是：算，或者谈。自己算出来的就是隐含远期利率，交易双方谈出来的就是远期交易利率。这里先不展开远期利率，只点到为止。各位先彻底搞懂YTM后，再通过我们今后的相关课程学习远期利率，理解会更快更透彻。

2. YTM假设每一期票息的再投资收益率能完美地等于YTM。这怎么可能呢？未来的市场环境一直在波动，每次拿到票息后的市场已经今非昔比。票息再投资能做到的实际收益率只能取决于收到票息时的市场情况，实务中也从来没有哪个领导要求你“小王，你把这只债的每期票息去买别的债，收益率必须做到这只债的YTM，否则你就准备躺平吧。”如果有这种领导，请把这篇文章给他看。

既然如此不合理，那为什么它最普遍使用呢？因为方便交流、交易，否则如果计算过于复杂，交易效率急剧降低。不要小看效率这件事。为什么当年意大利人斐波那契把阿拉伯数字引入欧洲，欧洲人就迅速接受它并抛弃了罗马数字？因为罗马数字神烦（例如，96.52，罗马数字是XCVII，1256是MCCLVI，非常不直观），阿拉伯数字简单清晰。

首先要用业务逻辑理解业务，其次才是数学逻辑

由于YTM在定价公式的分母，分子是固定的票息和本金，那么YTM越高，债券价格必然越低。所以债券的收益率与价格是反向的。这种方向关系和其它所有资产都不同。任何其它资产，股票、房地产等，一定是价格越涨（跌），收益率越高（低），二者同向变化。唯独债券的价格与收益率是反向关系。如果你把一张普通固息债的价格与收益率作图，则能明显看到二者的反向关系而不是正向关系。

但如果想要彻底理解“债券价格与收益率反向变化”这一点，不要用数学的“分母越大分子不变则商越小”来说服自己、也不要用这张图来说服自己。小学生也看得懂分数、看得懂图，只理解数学逻辑不是真理解，用业务逻辑说服自己才是真理解。

这个反向关系的业务逻辑就是：因为债券的现金流收入是提前约定的，好比一块饼的大小已经固定了，成本就是100元。那么你用90元买它，和用10元买它，哪个收益率高？当然是10元。所以，因为收入确定，所以成本价格越低，收益率越高，反之亦然。所以用不严谨但是易于理解的方式来说，债券是‘先收益后成本’，即先确定了收益，再去算成本。而其它资产是‘先成本后收益’，比如现定了500万成本买这套房，看以后涨跌到多少再算收益率。这也是为什么债券的收益率下行（收益率通常不说上涨下跌，而说上行下行），使得债券价格上涨，我们称为债券牛市，反之亦然。

所以我们强调，数学只是工具，业务才是目的。归根结底，金融是社会科学，不是自然科学。不管使用的计算工具再怎么复杂高深，也不是我们研究的目的本身，我们的目的是研究金融这种人的社会行为，所以一定要能从业务本身理解，而非局限于计算逻辑。

债券定价公式里，面值、票息都是已知的，收益率是未知的、是自变量，价格是也是未知的、是因变量。所以债券价格的定价公式表达的是“债券价格是收益率的函数”，即债券价格随着收益率的变化而变化，反之亦然。

综上所述，完整严谨地说，债券的到期收益率YTM是假设双方平安无事到期年化平均复利回报率。

YTM与实际持有期回报率

不要把YTM和实际持有期回报率混为一谈。YTM是假设的某一时点直至持有到期能实现的年化收益率，是一个假设收益率。实际持有期回报率是指这只债买入卖出期间的实际回报率。如果持有人在到期前将债券卖出，那么从买入到卖出的期间回报率，须根据年化后的买卖价差进行计算，得到期间的年化复利回报率。如果债券持有人真的顺利持有至到期了、并且将每期票息的投资回报率做到了YTM，那么YTM才等于实际持有期回报率。

价格等于面值的新发债票息率=YTM

一只发行价格为100元的新发债的YTM与票息率是相等的。为什么？例如，当票息率为6%，即每张债券每年支付6元，那么用面值100购买这只债券时，年化回报率自然就是6%。因为年化6%的意思就是“每年获得6%的回报”。价格成本100，每年收到6元票息，YTM当然就是6%，和票息率是一回事。

所以，一只价格超过面值100元的溢价债券的价格，可以进行如下拆分：

如果是价格低于100元的折价债券，也可以如此进行拆分，各位可以自行推导。

有一种特殊情况是，国债、政金债的续发制度，把一期债券的发行分散到多次发行，分为首发和续发。多次发行时间点虽然不一样，但还是同一期债。这一期内的每次发行的债券的起息日都是同一天，尽管首发和每次续发的实际债券上市日都不一样。由于每次续发时的债券剩余期限已不足原始期限，而且届时市场利率水平已变化，而且为了方便管理，发行人规定每次续发的票面利率须保持与首发一致，那么发行价格自然就常常不一定是100元面值，而是随行就市。而且往往随着续发时剩余期限比首发时的原始期限要短，通常收益率曲线是向右上方倾斜的，也就是期限越短收益率越低，那么这使得较短期限的续发债券的价格往往高于100元、以使得实际发行收益率低于票面利率。当然，也不排除偶尔出现曲线倒挂而续发价格低于100元的现象。

比如200016这只十年期国债，首发是2023年11月19日，确定了这一期的票面利率是3.27%。然后在2023年1月20日第二次续发，1月25日上市。由于票面利率已经锁定，此时剩余期限也不足十年期（比2023年11月19日首发的债券已经少了自那时起至2023年1月25日的67天，剩余期限是9.82年），市场利率也已发生变化，既然票面利率已固定，那么只能通过改变发行价格来使此次发行债券的实际收益率符合此时的9.82年国债的市场实际利率，所以发行价格不再是100，而是101.67元。

二、久期（Duration，单位：年）

久期是一个折磨初学者的概念。作为一个在森浦Sumscope为全市场传播固收知识的人，我过去、现在、未来，都很讨厌这个误人子弟的名字、生硬无趣的翻译。在我看来，我们哪怕叫它弹性、敏感度、油门、档位、变速箱，也比叫它久期更容易让人理解。

所以，我们把它一次性讲清楚，让各位初学者这辈子都不再被这个概念折磨。

如下两只下蛋母鸡，假设每个蛋相同大小，你更喜欢哪个？

通常大家都喜欢黑鸡：每天可以吃到一只新鲜鸡蛋。白鸡前九天都不下蛋，让人要担心这九天它是不是生病了。一次性下10个蛋又不能当天吃完，只能存起来，越来越不新鲜。

这种区分只是一种粗浅的直觉，如何用数学来精确描述黑鸡比白鸡优秀多少呢？很简单，计算平均吃到各个鸡蛋需要等待的天数就可以了。

黑鸡：(1+2+…+10)÷10=5.5天

白鸡：(10+10+…+10)÷10=10天

有人可能会有疑问，对于黑鸡，我吃完第一只蛋后只再等了一天就吃到第二只蛋了，每只蛋的间隔为1天，为什么不是1+1…+1=10呢？

因为，如果也用这种方式算白鸡，那么吃到白鸡的一只蛋是等10天，剩下9颗蛋与这颗是同一天吃到，所以9颗蛋的间隔都是0天，10+0+…+0=10，这样两只鸡的时间都是10天，无法区分孰优孰劣。所以说，数学方法本身没有对错，重点在于何种方法能帮我们解决实际问题。

如果又来一只黄鸡，前九天下小蛋，第十天下大蛋，还是用原来的方法，平均得出来的天数也是5.5天。这样，这个方法也已经没法进一步区分胜负了。

所以，我们改进如下，把每个鸡蛋占总鸡蛋重量的权重加到各时间段：

黑鸡的加权平均时间是5.5天，黄鸡是8.2632天，黑鸡还是赢了。

黄鸡要怎么赢呢？把大蛋下到第一天，平均每个蛋就是4.9517天，就能赢。

这种加权平均的思维方式，就是麦氏久期（Macaulay Duration），是一个加拿大经济学家麦考利发明的，它衡量的是一只债券每笔现金流的加权平均回本时间（注意是平均而不是加总）。债券的每期现金流就好比每个鸡蛋。

注意：

麦氏久期是每笔现金流的回本平均时间，不是总时间，即债券的加权平均剩余期限。麦氏久期是有单位的，一般是年。我们平时说的拉长久期、缩短久期，都是说的麦氏久期。随着债券价格、收益率的波动、剩余期限的逐日缩短，麦氏久期也会随之变化。价格、收益率变化一次，久期就马上跟随变化。

例，对于如下债券：

计算这只债当前的麦氏久期：

98元类似之前例子中的鸡蛋总重量，红蓝绿紫四笔现金流贴现值类似每个鸡蛋的重量，1、2、3类似每个鸡蛋的时间段长度。

我们还可以用物理模型来解释麦氏久期：如果现金流换成砝码，时间轴换成天平（注意忽略天平横杠本身的重量，只考虑砝码重量），那么麦氏久期就是能使天平平衡时，左端到支点的长度。如下图：

如果其他条件不变，票息变大，支点必须左移，那么麦氏久期越短。

如果期限增加，麦氏久期越长。

对于无息债，因为两边都没有砝码，所以麦氏久期就等于其期限。反过来说，一个麦氏久期为2.9125的多笔现金流债券，平均回本时间就相当于一只2.9125年的零息债。

这个解释不仅在物理上是直观的，在数学上也是精确的。如下图，用贴现后的现值作为砝码重量计算天平两边的力矩，刚好相等。

现金流越早，回本时间越短。现金流越大，回本也越短。所以，投资者用麦氏久期来衡量债券风险高低时，就是现金流早比晚好、大比小好。

在其它资产中，也有类似的回本时间的概念，比如股票的市盈率、房地产的租售比。股票静态市盈率衡量的是股价等于多少倍的年度盈利，也就是投资者靠盈利回报能多少年收回买股票的成本。房屋租售比是月租金比房价，那么租售比乘以12之后求倒数，就是靠租金需要多少年回本。当然，严格来说，股票市盈率不能算现金型回本指标，因为盈利并不一定都分给股东，这里只是供大家拓宽思路，跳出固收看固收。

修正久期（Modified Duration）

麦氏久期仅仅是个回本平均时间指标，它并没有揭示除此之外的任何其它特征。如果债券价格波动，如何度量它的风险呢？之前我们说过，债券的价格公式是价格与收益率的函数。收益率动，价格就动。于是经济学家们开始思考：如果债券收益率波动一个单位，债券价格波动多少个单位呢？

把债券价格公式进行一般化，P是债券价格，YTM是收益率，C、F、n是已知的票息、面值、期限。

我们关心的其实就是“自变量x变化一个单位数值，因变量y变化多少百分比”的问题。我们已经有很成熟的方法来解决“x变化一个单位数值时y变化几个单位数值”这个问题，即求导数。对以上公式，求P对YTM的一阶导数：

注意只是算出来了当YTM变化一个微小单位时P变化的数值，我们需要度量的是变化幅度或者说百分比，而不仅仅是数值。所以要将两边同时除以P，然后再提取公因子，得到：

左边红色部分就是债券价格对收益率变化的敏感度。无巧不成书，右边的蓝色部分恰好就是麦氏久期，负号表示的是价格和收益率变化的反向关系。

由于这个数学关系，可以通过麦氏久期进行数学修正而得到，在数值上是修正的麦氏久期，所以债券价格对收益率变化的敏感度被称为修正久期，但其实际业务出发点已经不是回本时间了，尽管数值上是接近麦氏久期的，那也只是一种数学巧合。所以尽管业内都已普遍接受修正久期这个名字，但如果把它更名为价格收益率弹性、敏感度，更名副其实。

一年付息一次的固息债的修正久期，等于麦氏久期除以1+YTM。如果是付息m次的固息债，那么等于麦氏久期除以1+YTM/m。如果m是无穷次，意味着连续付息，那么YTM/m趋向于0，麦氏久期就等于修正久期了。

我们再来看数学的作图解释。从价格收益率曲线上看，修正久期是曲线的一阶导数，即用直线去替代曲线来度量价格对于收益率变化的变化。例如下图，当收益率从y1变化到y1+△y时，曲线从A点下滑到D点，债券价格从A下跌到B，但直接计算AB很不方便，我们用AC去近似AB。AC即修正久期。显然，收益率变化幅度小时，切线和曲线很接近，近似效果较好。当收益率变化很大，则修正久期的近似效果越差，这时就要用到进一步的近似工具：凸性。后续凸性章节将专门介绍。

我们来看看两只不同债券的修正久期差异。假设有两只债券，票息率都是3%，A债期限3年，B债期限10年，债券的价格-收益率曲线如下图：

两只债的价格-收益率曲线在收益率3%处相交。因为票息是3%，当X轴的收益率为3%时，Y轴价格等于面值100。

当两只债的收益率从3%下行1个BP到2.99%时，三年期债的价格上涨到100.028元，而十年期债券价格上涨到100.085，显然十年期债的价格上涨