金融分析与风险管理 债券基金怎样计算收益率多少钱一天

金融分析与风险管理——投资组合收益率、波动率计算 1 投资组合的预期收益率2 投资组合的波动率

1 投资组合的预期收益率

假设由N只股票构成一个投资组合，各只股票的预期收益率分别为 E ( R i ) E(R_i) E(Ri​)，则投资组合的预期收益率计算如下：

E ( R p ) = ∑ w i E ( R i ) = [ w 1 , w 2 , . . . , w N ] [ E ( R 1 ) , E ( R 2 ) , . . . , E ( R N ) ] T 且 满 足 ： ∑ w i = 1 E(R_p) = sum w_iE(R_i) = [w_1,w_2,...,w_N][E(R_1),E(R_2),...,E(R_N)]^T \[10pt] 且满足：sum w_i =1 E(Rp​)=∑wi​E(Ri​)=[w1​,w2​,...,wN​][E(R1​),E(R2​),...,E(RN​)]T且满足：∑wi​=1

简单收益率计算

r t = P t + D t P t − 1 − 1 r_t = frac{P_t+D_t}{P_{t-1}} - 1 rt​=Pt−1​Pt​+Dt​​−1

复利收益率计算

由简单收益率计算复利收益率的公式如下：

R c = ( 1 + r 1 ) ( 1 + r 2 ) . . . . ( 1 + r t ) 1 t T − 1 R_c = {(1+r_1)(1+r_2)....(1+r_t)}^{frac{1}{t}T}-1 Rc​=(1+r1​)(1+r2​)....(1+rt​)t1​T−1

其中，t是持有期，T是需计算的复利期。

连续收益率计算

R t = l n ( P t + D t P t − 1 ) R_t = ln(frac{P_t + D_t}{P_{t-1}}) Rt​=ln(Pt−1​Pt​+Dt​​)

通常情况下，年化收益率可通过日收益或者月收益率计算得到，其计算公式如下：

R y e a r = r d a y ∗ 252 R y e a r = r m o n t h ∗ 12 o r R y e a r = R d a y ∗ 252 R y e a r = R m o n t h ∗ 12 R_{year}=r_{day}*252 \[10pt] R_{year}=r_{month}*12 \[10pt] or \[10pt] R_{year}=R_{day}*252 \[10pt] R_{year}=R_{month}*12 \[10pt] Ryear​=rday​∗252Ryear​=rmonth​∗12orRyear​=Rday​∗252Ryear​=Rmonth​∗12

在股票的日收益计算中，我们通常使用连续收益率（对数收益率）进行计算，因为该收益率考虑了连续的时间价值。

2 投资组合的波动率

在计算投资组合的波动率之前，通常需要先计算每只股票收益率之间的协方差与相关系数，以两只股票为例进行说明：

σ p 2 = ( w 1 σ 1 ) 2 + ( w 2 σ 2 ) 2 + 2 w 1 w 2 C o v ( R 1 , R 2 ) = ( w 1 σ 1 ) 2 + ( w 2 σ 2 ) 2 + 2 w 1 w 2 ρ 12 σ 1 σ 2 两 边 开 根 号 ： σ p = ( w 1 σ 1 ) 2 + ( w 2 σ 2 ) 2 + 2 w 1 w 2 C o v ( R 1 , R 2 ) = ( w 1 σ 1 ) 2 + ( w 2 σ 2 ) 2 + 2 w 1 w 2 ρ 12 σ 1 σ 2 其 中 ： ρ 12 = C o v ( R 1 , R 2 ) σ 1 σ 2 sigma^2_p = (w_1sigma_1)^2 + (w_2sigma_2)^2 +2w_1w_2Cov(R_1,R_2) \[10pt] = (w_1sigma_1)^2 + (w_2sigma_2)^2 +2w_1w_2 ho_{12}sigma_1sigma_2 \[10pt] 两边开根号：\[10pt] sigma_p = sqrt{(w_1sigma_1)^2 + (w_2sigma_2)^2 +2w_1w_2Cov(R_1,R_2)} \[10pt] = sqrt{(w_1sigma_1)^2 + (w_2sigma_2)^2 +2w_1w_2 ho_{12}sigma_1sigma_2} \[10pt] 其中： ho_{12} = frac{Cov(R_1,R_2)}{sigma_1sigma_2} σp2​=(w1​σ1​)2+(w2​σ2​)2+2w1​w2​Cov(R1​,R2​)=(w1​σ1​)2+(w2​σ2​)2+2w1​w2​ρ12​σ1​σ2​两边开根号：σp​=(w1​σ1​)2+(w2​σ2​)2+2w1​w2​Cov(R1​,R2​) ​=(w1​σ1​)2+(w2​σ2​)2+2w1​w2​ρ12​σ1​σ2​ ​其中：ρ12​=σ1​σ2​Cov(R1​,R2​)​

由N只股票构成的投资组合，其收益率方差计算表达式如下：

σ p 2 = ∑ ∑ w i w j C o v ( R i , R j ) = ∑ ∑ w i w j ρ i j σ i σ j = W ∑ W T ∑ = [ σ 1 2 σ 12 ⋯ σ 1 n σ 21 σ 2 2 ⋯ σ 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ σ N 1 σ N 2 ⋯ σ N 2 ] sigma^2_p = sum sum w_iw_jCov(R_i,R_j) = sum sum w_iw_j ho_{ij}sigma_isigma_j=Wsum W^T \[10pt] sum = egin{bmatrix} {sigma^2_1}&{sigma_{12}}&{cdots}&{sigma_{1n}}\ {sigma_{21}}&{sigma^2_2}&{cdots}&{sigma_{2n}}\ {vdots}&{vdots}&{ddots}&{vdots}\ {sigma_{N1}}&{sigma_{N2}}&{cdots}&{sigma^2_N}\ end{bmatrix} σp2​=∑∑wi​wj​Cov(Ri​,Rj​)=∑∑wi​wj​ρij​σi​σj​=W∑WT∑=⎣⎢⎢⎢⎡​σ12​σ21​⋮σN1​​σ12​σ22​⋮σN2​​⋯⋯⋱⋯​σ1n​σ2n​⋮σN2​​⎦⎥⎥⎥⎤​

波动率（标准方差）近似遵循平方根法则，可以通过日收益波动率进行计算，公式如下：

σ m o n t h = 22 σ d a y σ y e a r = 252 σ d a y sigma_{month} = sqrt{22}sigma_{day} \[10pt] sigma_{year} = sqrt{252}sigma_{day} \[10pt] σmonth​=22 ​σday​σyear​=252 ​σday​