18 GARCH模型 股票债券期货定价模型的比较分析实验报告怎么写

18 GARCH模型

本章来自(Tsay 2013)§4.6-4.8内容。

ARCH模型用来描述波动率能得到很好的效果，但实际建模时可能需要较高的阶数，比如§17.5.3的欧元汇率波动率建模用了11阶的ARCH模型。考虑类似从AR推广到ARMA的模型变化。

18.1 模型方程

(Bollerslev 1986)提出了ARCH模型的一种重要推广模型，称为GARCH模型。对于一个对数收益率序列(r_t)，令(a_t = r_t - mu_t = r_t - E(r_t | F_{t-1}))为其新息序列，称({ a_t })服从GARCH((m,s))模型，如果(a_t)满足[egin{align}a_t = sigma_t varepsilon_t,quadsigma_t^2 = alpha_0 + sum_{i=1}^m alpha_i a_{t-i}^2 + sum_{j=1}^s eta_j sigma_{t-j}^2 ag{18.1}end{align}]其中({ varepsilon_t })为零均值单位方差的独立同分布白噪声列，(alpha_0>0),(alpha_i geq 0),(eta_j geq 0),(0 < sum_{i=1}^m alpha_i + sum_{j=1}^s eta_j < 1)，这最后一个条件用来保证满足模型的(a_t)的无条件方差有限且不变，而条件方差(sigma_t^2)可以随时间(t)而变。

18.2 与ARMA模型比较

模型(18.1)表面上像是如下的(x_t = sigma_t^2)的类似于ARMA((s,m))的模型：[ X_t^2 - sum_{j=1}^s eta_j X_{t-j}^2 = alpha_0 + sum_{i=1}^m alpha_i a_{t-i}^2 ,]但是这里的(sigma_{t-i}^2)和(a_{t-i}^2)是有关系的，(sigma_{t-i}^2)是(a_{t-i})的条件方差，ARMA模型中的(x_{t-i})与模型中的白噪声(varepsilon_{t-i})并没有这样的关系。

为了利用GARCH模型与ARMA模型的相似性，令(alpha_i=0), 当(i>m)；令(eta_j = 0), 当(j>s)。令(eta_t = a_t^2 - sigma_t^2)，下一小节证明了(E a_t = 0)，而(sigma_t^2 = ext{Var}(a_t | F_{t-1}) = E(a_t^2 | F_{t-1})),当(a_t)为严平稳列时(eta_t)是鞅差序列，这是比宽白噪声严一些，比零均值独立同分布白噪声宽一些的条件。将(sigma_{t-i}^2 = a_{t-i}^2 - eta_{t-i})代入模型(18.1)得[egin{align}a_t^2 = alpha_0 + sum_{i=1}^{max(m,s)} (alpha_i + eta_i) a_{t-i}^2+ eta_t - sum_{j=1}^s eta_j eta_{t-j} . ag{18.2}end{align}]这就是关于({a_t^2})的ARMA((max(m,s)), (s))模型，由ARMA模型的无条件期望的公式得[E a_t^2 = frac{alpha_0}{1 - sum_{i=1}^{max(m,s)} (alpha_i + eta_i)}= frac{alpha_0}{1 - sum_{i=1}^m alpha_i - sum_{j=1}^s eta_j} .]这要求分母为正，即要求(sum_{i=1}^m alpha_i + sum_{j=1}^s eta_j < 1)。这时(a_t)的无条件方差( ext{Var}(a_t))也等于上式。

18.3 GARCH模型的性质

下面以最简单的GARCH(1,1)为例研究GARCH模型的性质。令(F_{t-1})表示截止到(t-1)时刻的(a_{t-i})和(sigma_{t-j})所包含的信息。模型为[egin{align}a_t =& sigma_t varepsilon_t,quad varepsilon_t ext{ i.i.d. WN} (0,1) , \sigma_t^2 =& alpha_0 + alpha_1 a_{t-1}^2 + eta_1 sigma_{t-1}^2 . ag{18.3}end{align}]

为了计算无条件均值(Ea_t)，先计算条件期望[E(a_t | F_{t-1})= E(sigma_t varepsilon_t | F_{t-1})= sigma_t E(varepsilon_t | F_{t-1})= 0 .]这里用了(sigma_t in F_{t-1})而(varepsilon_t)与(F_{t-1})独立。于是[E a_t = E[ E(a_t | F_{t-1})] = 0 .]即GARCH模型的新息(a_t)的无条件期望为零。

来计算(a_t)的无条件方差。设模型(18.1)的({ a_t })序列存在严平稳解，则[egin{aligned} ext{Var}(a_t)=& E(a_t^2)= E[ E(a_t^2 | F_{t-1})]= E[ E(sigma_t^2 varepsilon_t^2 | F_{t-1})]\=& E[sigma_t^2 E(varepsilon_t^2 | F_{t-1})]= E[sigma_t^2 E(varepsilon_t^2)] \=& E[sigma_t^2] = E[alpha_0 + alpha_1 a_{t-1}^2 + eta_1 sigma_{t-1}^2] \=& alpha_0 + alpha_1 E(a_{t-1}^2) + eta_1 E[E(a_{t-1}^2|F_{t-2})]\=& alpha_0 + (alpha_1 + eta_1) E(a_{t-1}^2) .end{aligned}]令(E a_t^2 = E a_{t-1}^2)，解得[ ext{Var}(a_t) = E a_t^2= frac{alpha_0}{1 - alpha_1 - eta_1} .]

GARCH(1,1)模型的性质：

第一，像ARCH模型一样，(a_t)存在波动率聚集，一个较大的(a_{t-1})或(sigma_{t-1})使得(1)步以后的条件方差变大，从而倾向于出现较大的对数收益率。

第二，当(varepsilon_t)为标准正态分布时，在如下条件下(a_t)有无条件四阶矩：[ 1 - 2 alpha_1^2 - (alpha_1 + eta_1)^2 > 0 .]这时超额峰度为[frac{E a_t^4}{(Ea_t^2)^2} - 3= frac{2left[1 - (alpha_1 + eta_1)^2 + alpha_1^2 ight]}{1 - (alpha_1 + eta_1)^2 - 2alpha_1^2}> 0 .]即(a_t)分布厚尾。但是，对实际数据建模时即使使用条件t分布，对数据的厚尾性的拟合仍可能不足。

第三，GARCH模型给出了一个比较简单的波动率模型。

第四，因为(sigma_t^2)对(a_{t-i})的依赖是通过(a_{t-i}^2)，所以一个取正值的扰动(a_{t-i})和一个取负值的(a_{t-i})，只要绝对值相等，对后续波动率的影响就是相等的，不能体现杠杆效应。

18.4 预测

可以用类似ARMA预测的方法预测波动率。仍以GARCH(1,1)为例，由模型(18.3)，基于截止到(h)时刻的观测作超前一步预测：[ sigma_{h+1}^2 = alpha_0 + alpha_1 a_{h}^2 + eta_1 sigma_{h}^2 in F_{h} .]所以[egin{align}sigma_h^2(1) = E(sigma_{h+1}^2 | F_{h})= sigma_{h+1}^2 = alpha_0 + alpha_1 a_{h}^2 + eta_1 sigma_{h}^2 . ag{18.4}end{align}]对(sigma_{h+2}^2)，利用(a_t^2 = sigma_t^2 varepsilon_t^2)，有[egin{aligned}sigma_{h+2}^2 =& alpha_0 + alpha_1 a_{h+1}^2 + eta_1 sigma_{h+1}^2 \=& alpha_0 + alpha_1 sigma_{h+1}^2 varepsilon_{h+1}^2 + eta_1 sigma_{h+1}^2 \=& alpha_0 + (alpha_1 varepsilon_{h+1}^2 + eta_1) sigma_{h+1}^2end{aligned}]于是[egin{aligned} sigma_h^2(2) =& E(sigma_{h+2}^2 | F_{h}) = alpha_0 + E(alpha_1 varepsilon_{h+1}^2 + eta_1 | F_h) sigma_{h+1}^2 \ =& alpha_0 + (alpha_1 + eta_1) sigma_h^2(1) .end{aligned}]类似地，对(ell geq 2)有[sigma_{h+ell}^2= alpha_0 + alpha_1 varepsilon_{h+ell-1}^2 sigma_{h+ell-1}^2 + eta_1 sigma_{h+ell-1}^2= alpha_0 + (alpha_1 varepsilon_{h+ell-1}^2 + eta_1) sigma_{h+ell-1}^2 ,]于是[egin{align}sigma_h^2(ell)=& Eleft{ sigma_{h+ell}^2 | F_h ight} = alpha_0 + Eleft{ (alpha_1 varepsilon_{h+ell-1}^2 + eta_1) sigma_{h+ell-1}^2 | F_h ight} \=& alpha_0 + Eleft{ Eleft[ (alpha_1 varepsilon_{h+ell-1}^2 + eta_1) sigma_{h+ell-1}^2 | F_{h+ell-2} ight] | F_h ight} \=& alpha_0 + Eleft{ sigma_{h+ell-1}^2 Eleft[ alpha_1 varepsilon_{h+ell-1}^2 + eta_1 | F_{h+ell-2} ight]| F_h ight} quad( ext{注意}sigma_{h+ell-1}^2 in F_{h+ell-2}) \=& alpha_0 + left{ sigma_{h+ell-1}^2 (alpha_1 + eta_1) | F_h ight} \=& alpha_0 + (alpha_1 + eta_1) sigma_h^2(ell-1) . ag{18.5}end{align}]

预测公式与自回归系数为((alpha_1 + eta_1))的ARMA(1,1)的超前预测公式相同。

从(ell=2)迭代计算得[sigma_h^2(ell)= frac{alpha_0[1 - (alpha_1 + eta_1)^{ell-1}]}{1 - (alpha_1 + eta_1)}+ (alpha_1 + eta_1)^{(ell-1)} sigma_h^2(1) .]只要(alpha_1 + eta_1 < 1)就有[sigma_h^2(ell) ofrac{alpha_0}{1 - alpha_1 - eta_1} = ext{Var}(a_t) .]即超前多步条件方差预测趋于(a_t)的无条件方差。

18.5 模型估计

ARCH模型的建模步骤也适用于GARCH模型的建模。GARCH模型的定阶方法研究不多，一般用试错法尝试较低阶的GARCH模型，如GARCH(1,1),GARCH(2,1),GARCH(1,2)等。许多情况下GARCH(1,1)就能解决问题。

为了估计参数，可以假定初始的(sigma_t^2)已知，递推计算后续的(sigma_t^2)并计算条件似然函数，求条件似然函数的最大值点得到参数估计。有时用(a_t)的样本方差作为初始的(sigma_t)的值。

为了检验模型的充分性，可以计算标准化残差[ ilde a_t = frac{a_t}{sigma_t} ,]通过对( ilde a_t)和( ilde a_t^2)的白噪声检验确认模型可以接受，还可以做( ilde a_t)相对于条件分布的QQ图以检验模型假设的条件分布的拟合优度。

18.5.1 Intel公司股票收益率的波动率建模实例

继续使用§17.5.1中的Intel公司股票从1973-1到2009-12的月度对数收益率数据，有444个观测值。§17.5.1中的ARCH(1)模型(17.7)在模型检验中有一些不足，比如关于标准化残差平方的Ljung-Box检验的滞后15和滞后20检验是显著的。尝试用GARCH(1,1)模型来改进。记(r_t)为对数收益率序列。

数据读入：

d.intel