线性代数化行阶梯型和行最简型的方法 黄金调换有什么技巧

行阶梯型和行最简型的定义和形式：

行阶梯型即非0元素排列像一个阶梯，如下图

特点为：每个阶梯只有一行；元素不全为零的行（非零行）的第一个非零元素所在列的下标随着行标的增大而严格增大（列标一定不小于行标）；元素全为零的行（如果有的话）必在矩阵的最下面几行

因为最简型矩阵每一行的首元必须为1，在阶梯形矩阵中，若非零行的第一个非零元素全是1，且非零行的第一个元素1所在列的其余元素全为零，就称该矩阵为行最简形矩阵。

如何化呢——通过初等变换。常见的方法有：

1、交换两行（如果化行最简型时非0首元不为1，可以进行列交换）

2、用k(k≠0)乘某一行，或做提公因式使用。——将某行首元化1

3、某一行的L倍加到另一行上去（常用，L可正可负）——倍加化0.

具体示例如下：

如step1中第一步化阶梯型矩阵，A的第一列是（1，5，9，1）,通过倍加依次从上面把第二行第三行第四行的首元素化为0，具体：如第一行的-5倍加到第二行，则第二行的5+（-5）即为0。将第一列中除了第一行的首元均化为0之后，即从第二行挑选第一个非0首元，为-4，第二行和第三行可以提一个-4的公因式，则第二行非0首元变成1了，继续从上到下化0，直接第三行和第四行分别乘以第二行的-1倍即可化0，得到行阶梯型。

在step2中第二部化行最简型，就从下往上，因为下面比上面的元素少，基本均为0元素，乘以任何元素均为0.

如图第二步第一个形式到第二个形式，第三行的1乘以-3倍加到第二行，乘以-4倍加到第一行，即可消去两个数字。

意义：如矩阵方程中（齐次Ax=0或非齐次方程Ax=b），矩阵A中的数字即为系数，如果为0或者少未知数则解起来轻松不易错。

——部分摘录自猕猴桃学长笔记