固定收益 麦考利久期 修正久期 债券利率变化与什么有关呢

固定收益证券的收益是固定的吗？显然CFA们并不这么认为，因为如果收益是固定的，换言之是确定的，那也就不存在风险了。如果不存在风险，那CFA讨论它还有什么意义呢？

1 收益从哪里来

固定收益的现金流有三个来源：

票息和本金赎回 Coupon/principal payments票息的再投资利息 Interest of coupon payments债券交易利得损失 gain/loss

本金和票息很好理解的啦，本金就相当于是par value 或面值，一般都是100或者1000一张的啦，到期的时候拿着券去换这么多小钱钱。

票息就是Coupon，用本金乘以发行时的利率就是每年的Coupon了，如果一年发放多次，就除一下。

收到Coupon之后，继续拿去投资，收到的钱就是再投资利息。不过我们一般假设再投资赚得的利率和债券的持有到期收益率YTM正好相等。要是不一样，每一期的折现利率不同，计算器就废了。

债券交易的利得或损失，就是如果投资人中途卖出债券，他卖出的价格和债券的报表上的价值（carrying value ）差额。报表上的价值怎么算呢，我们之前学过折旧摊销大法，用起来就OK啦。

2 风险从哪里来

风险主要是一种不确定性，在固定收益市场，不确定性从哪里来呢？

发行人能不能按时还本付息 credit risk拿到票息再拿去投资的利率 reinvestment risk如果不打算持有到期，还要考虑中途价格变化 market price risk

一般来说，债的偿还顺序先于股，所以债券的安全性远高于股票投资，信用违约的可能性更小，而如果是国家债，则更是稳如山，所以我们一般不考虑credit risk。

一个期限很长的债券，比如20年，咱们谁也不知道1年以后的利率是多少，更别说20年以后的利率，所以这种时间越长的债券，未来利率的不确定性就越高，reinvestment risk 风险也就越高。

相反，短期债券的market price risk不确定性高，而reinvestment risk则小一些。

所以，似乎market price risk和reinvestment risk是相对的关系，一个大另一个就小。

那，当时间为多长的时候，market price risk可以刚好等于reinvestment risk呢？答案就是，不短不长的时候。怎么计算呢？久期。

3 久期

久期Duration用于衡量债券利率变动对债券价格的影响程度，说直白点就是：每一单位百分比债券利率变化，会导致债券价格相应变化多少单位百分比。有没有感觉听说过：每一单位百分比价格变化，导致商品销量变化几个单位百分比——价格弹性。

麦考利是现金平均回流时间；而修正久期则能描述1%利率变化，到底会导致 ?%债券价格变化；再往后，用修正久期乘以债券当时的价格，不就是1%利率变化，到底会导致债券价格变化多少吗？

麦考利久期

首先出场的是麦考利老师，他搞了个麦考利久期Macaulay Duration，具体过程就是计算现金流加权的平均回流时间。

Macaulay Duration = SUM { t*w }

t = 现金流时间

w = 权重 (当期现金流折现/总的折现现金流)

如果是永续债，则简化后结果为：

Macaulay Duration = (1+r)/r

但是麦考利久期只是计算出了风险的相对大小，久期越长，风险越大，但是却没法算出风险和久期具体的关系。

修正久期

之后是修正久期Modified Duration

ModDur = MacDur / (1 + YTM)

其中YTM为期间收益率，并非年化的收益率。

如果信息不足，没法通过上面式子计算，我们还可以根据修正久期的意义进行近似计算：

计算债券价格为Po位置的近似修正久期，公平起见，向上和下各变化一个百分比单位的收益率（而不是只向下或向上），看看债券价格变化的平均百分比，就是近似修正久期。

如图所示，利率上下变化相同，债券价格是不一样的额，所有要公平起见，求均值。

之所以是近似修正久期，因为我们之前说过，债券价格和利率变化像猫眼睛一样是凸的，不是直的。

假设债券原价Po,向上变到P_，向下变到p+。（债券价格与利率反向变化，所以上是P_，下是P+。+/-代表利率变化方向。P_>Po>P+）

向上和下各变了一份，共两份。

近似ModDur

=债券价格变化百分比/债券利率变化百分比*2

=[(Po-P+)/Po+(P_-Po)/Po]/债券利率变化百分比*2

=[(P_-P+)/Po]/债券利率变化百分比*2

=(P_-P+)/债券利率变化百分比*2*Po

=(P_-P+)/ΔYTM*2*Po

当然，也可以用近似修正久期算出近似麦考利久期：

似麦考利久期 = 近似修正久期 *（1+YTM）

现金久期

再然后是现金久期 MONEY Duration

我们知道ModDur是1%利率变化，到底会导致?%债券价格变化，所以：

MONEY Duration

=ModDur*Po

=1%利率变化，债券价格变化多少（块/美块）钱

PVBP | DV01

如果我们再用

MONEY Duration*ΔYTM

=(ModDur*Po)*ΔYTM

=[((P_-P+)/ΔYTM*2*Po)*Po]*ΔYTM

=P_-P+/2

我们把这个东西叫做债券全价的变化。当债券利率变化一个基点（base point）时（0.01%）的全价变化叫做基点价值（PVBP）或者（DV01）。

有效久期

我们之前的那些都是用收益率YTM来计算的，只适用于收益率YTM不变的债券，可是有些含有期权啥的债券他们是会受到所含权的影响的。麦考利久期和修正久期适用的债券利率变化时，现金流是不受影响的。

债券到期时的par value和每期的coupon是不变的，持有到期收益率也不变。

但是如果债券含有期权，当行权时，债券收益会受到影响，此时再使用上面的YTM来计算就不科学了。

有效久期（Effective Duration）则可以用来对付这种受到行权影响的债券。和之前的区别在于把ΔYTM换成ΔCURVE。

一个截然而止的分界线～～～～～～

原文：