资产组合VaR 和CVaR值的求解方法 债券基金的收益率怎么计算出来的呢视频

1. VaR

VaR（Value at Risk）一般被称为“风险价值”或“在险价值”，指在一定的置信水平下，某一金融资产（或证券组合）在未来特定的一段时间内的最大可能损失。

VaR的计算方法很多主要分为两大类：局部估值法和完全估值法。

局部估值法是通过仅在资产组合的初始状态做一次估值，并利用局部求导来推断可能的资产变化而得出的风险衡量值。常用的方法，full covariance normal distribution, delat-normal distribution, diagonal model with one common factor, beta model with one common factor,undiverified measured by adding up all individuals VaRs.

完全估值法：通过对各种情景下投资组合对重新定价来衡量风险。常用方法：历史模拟法，蒙特卡罗模拟法。

2. 局部估值法：2.1 方差-协方差方法

计算VaR的数值，一般假设资产组合的对数日均收益率服从均值为 mu ，标准差为 sigma 的正态分布。持有期 Delta t 每一日的收益率均服从相同的独立同分布。

Pleft( xleq X ight)=alpha

此时计算在置信水平 alpha 下，持有 Delta t 期的VaR值为：

VaR=S_{0}*Z_{alpha}*sigma*sqrt{Delta t} ，

此时 S_{0} 是资产组合的现值， Z_{alpha} 是置信水平 alpha 下的正态分布值，sigma 是标准方差，现实中是资产组合收益率的日波动率。这里需要注意的是，日均波动率与周波动率，月波动率，年波动率的转化关系。其转换原则是按照实际交易日来计算而不是日历时间来计算。

周波动率sigma_{week}=sigma*sqrt{5} ；月波动率sigma_{month}=sigma*sqrt{22}；年波动率sigma_{year}=sigma*sqrt{250}

对于不同的资产组合其分配的权重为：w=left( w_{1} , w_{2} , w_{3} ,..., w_{n} ight) 并且满足 sum_{i=1}^{n}{w_{i}}=1

此时资产组合的标准差为： sigma_{w}=sqrt{sum_{i=1}^{n}sum_{j=1}^{n}{w_{i}w_{j}sigma_{i}sigma_{j} ho_{i,j}}}

eg. 考虑一个总价值为100万美元的资产包含两个投资品：A 和B。 对于投资品A，投资份额为0.3，收益率的年波动率0.4；对于投资品B，投资份额为0.7，收益率的年波动率0.3；两个投资品的收益率的相关系数为0.8.

1。分别计算服从正态分布条件下95%置信水平条件下的，持有期为10天和250天的投资品A和投资品B，以及投资组合的VaR值。

对于投资品A：日波动率sigma_{day}=frac{sigma_{year}}{sqrt{250}}approx0.025

持有期为10天的VaR值为： VaR=S_{0}*Z_{alpha}*sigma*sqrt{Delta t}=0.3*100*1.645*0.025*sqrt{10}approx4.0575

对于投资品B：日波动率sigma_{day}=frac{sigma_{year}}{sqrt{250}}approx0.019

持有期为10天的VaR值为： VaR=S_{0}*Z_{alpha}*sigma*sqrt{Delta t}=0.7*100*1.645*0.019*sqrt{10}approx6.9186

对于投资品组合：日波动率sigma_{w}=sqrt{sum_{i=1}^{n}sum_{j=1}^{n}{w_{i}w_{j}sigma_{i}sigma_{j} ho_{i,j}}}approx0.02

持有期为10天的投资组合VaR值为： VaR=S_{0}*Z_{alpha}*sigma*sqrt{Delta t}=100*1.645*0.02*sqrt{10}approx10.4039

2. 2.Delta-normal Distribution

方差-协方差方法使得资产组合的每一个资产品对市场变化具有单一的敏感性，也就是资产品价格是不变的，这就忽视了市场因素对资产品价格对影响。此时需要改进一下方差协方差方法，假设每一个资产品价值面临市场因素对影响系数为 delta 。假设资产组合的对数日均收益率服从均值为 mu ，标准差为 sigma 的正态分布。持有期 Delta t 每一日的收益率均服从相同的独立同分布。

此时计算在置信水平 alpha 下，持有 Delta t 期的VaR值为：

VaR=S_{0}*delta*Z_{alpha}* sigma*sqrt{Delta t} ，

此时 S_{0} 是资产组合的现值， Z_{alpha} 是置信水平 alpha 下的正态分布值，sigma 是标准方差，现实中是单一资产收益率的日波动率， delta 是由于相关市场因素的单一变化而使该头寸的市场价值发生的变化。 这里需要注意的是，日均波动率与周波动率，月波动率，年波动率的转化关系。其转换原则是按照实际交易日来计算而不是日历时间来计算。

周波动率sigma_{week}=sigma*sqrt{5} ；月波动率sigma_{month}=sigma*sqrt{22}；年波动率sigma_{year}=sigma*sqrt{250}

对于不同的资产组合其分配的权重为：w=left( w_{1} , w_{2} , w_{3} ,..., w_{n} ight) 并且满足 sum_{i=1}^{n}{w_{i}}=1

此时资产组合的标准差为： sigma_{w}=sqrt{sum_{i=1}^{n}sum_{j=1}^{n}{w_{i}w_{j}delta_{i}sigma_{i}delta_{j}sigma_{j} ho_{i,j}}}

eg.1

假设我们要测量10年期国债的风险价值，这些国债的票面价值是100万欧元，价格是105欧元。我们想要获得一个99%置信水平( Z_{1\%}=-2.326 )的风险度量，并且——基于历史数据我们估计了10年期国债到期收益率每日变化15个基点的标准差。这两个量的乘积约为35个基点，即 +0.35\% 。我们希望关注的市场因素(这里是10年期美国国债的到期收益率)的潜在不利变化是收益率的上升(上升35个基点)。 事实上，债券市场价值的变动是由:

Delta MVsimeq-MVcdot deltacdot Delta r

这里 delta 是灵敏度系数由修正的久期 MD 代替，如果用 Z_{alpha} 和 sigma 的乘积代替 Delta r ，考虑绝对值的损失，得到

Delta MVsimeq-MVcdot MDcdot Z_{alpha}cdot sigma

Delta MVsimeq=1 050 000*7*0.15*2.362=25644.15

2. 3. Beta-normal Distribution

与价值对多种市场因素敏感的远期买卖不同，股票头寸的市场价值只对一个因素敏感:股票价格。在这种情况下,相关的问题是事实,如果每一个股票价格被视为一个风险因素,对于交易的投资组合包括很多不同的股票(也属于不同世界证券交易所市场),大量的市场因素的波动和相关性估计应该会获得。因此，在这种情况下，问题不是将每个单独的头寸分解为多个虚拟头寸，这些虚拟头寸对不同的市场因素敏感，而是根据它们对单一市场因素的共同敏感性将多个头寸聚合起来。通过这种方式，股票头寸与数量有限的针对相关股票交易所指数的虚拟头寸相关(这个数字等于银行活跃的股票交易所市场的数量)。为此，根据beta系数将个人 i -th头寸“映射”到相关 j th股票市场，此时股票 i 的beta系数 eta_{i,j} 是股票 i 其上市的 j 股票市场收益率波动的敏感性系数。

此时股票的市场虚拟价值为：

MV_{i}^{*}=MV_{i}cdot eta_{i,j}

其中 MV_{i}^{*} 表示证券交易所指数中虚拟头寸的市场价值，与第 i 个证券中实际头寸的市场价值 MV_{i} 相关联。通过对所有在 j 市上市的股票进行汇总，得到了该资产组合在相关证券交易所指数中的整体虚拟位置。

MV_{j}=sum_{i=1, iin j}^{n}{MV_{i}cdot eta_{i,j}}

这样，第 i 只股票的风险价值就可以根据所交易的股票交易所市场指数的收益的波动性来估计。第 j 个股票市场的总风险值由:

VaR_{j}=MV_{j}*Z_{alpha}* sigma*sqrt{Delta t}=left( sum_{i=1, iin j}^{n}{MV_{i}cdot eta_{i,j}} ight)*Z_{alpha}* sigma_{j}*sqrt{Delta t}

其中 sigma_{j} 为市场股票交易指数(log)变化的标准差，此时 delta 被略去。

eg. 基于beta 模型计算投资组合的风险价值，一个公因子假设正态分布的收益率为95%，持有期为10天，一年中有250个工作日。唯一影响股票收益的因素是市场,和市场的每日波动( sigma_{m} )是0.03。投资品A的market exposure ( eta_{A} )是0.5,和投资品B的market exposure ( eta_{B} )是0.2。

持有期为10天的VaR值为： VaR_{j}=left( sum_{i=1, iin j}^{n}{MV_{i}cdot eta_{i,j}} ight)*Z_{alpha}* sigma_{j}*sqrt{Delta t}

=left( 0.3*100*0.5+0.7*100*0.2 ight)*1.645*0.03*sqrt{10}approx4.5257

或者，可以使用个股的波动率和相关数据来估计投资组合的VaR，

VaR_{m}=sqrt{f VaR^{T}CVaR }

2. 4.Delta-gamma approach

Delta-normal approach是将收益率进行一阶展开式，而Delta-gamma approach是将收益率进行二阶展开式，具体如下：

Delta MVsimeqdeltacdot Delta R+frac{gamma}{2}left( Delta R ight)^2

3. CVaR

CVaR(conditional value at risk)条件风险价值 其含义为在资产组合的损失超过某个给定VaR值的条件下，该投资组合的平均损失值。

若设定投资组合的随机损失为 X left( X>0 ight) ， VaR_{alpha} 是置信水平为 1-alpha 的VaR值，则CVaR可用数学公式表示为:

CVaR_{alpha}=Eleft( X| Xleq VaR_{alpha} ight)

CVaR_{alpha}=Eleft( X| Xleq VaR_{alpha} ight)=frac{int_{-infty}^{VaR_{alpha}}xfleft( x ight)dx}{alpha}

如果资产组合满足联合正态分布此时，CVaR可用数学公式表示为:

CVaR_{alpha}=sigmafrac{phileft( Z_{alpha} ight)}{alpha}

phileft( x ight) 是加权函数，也称为风险谱或风险规避函数。

一个风险规避函数:

phileft( x ight)=frac{e^{1-x}}{1-x}

to be continued...

4.风险价值 Value-at-Risk4.1风险价值(Value-at-Risk)的定义

风险价值衡量的是在未来给定的时间内，在给定的概率下一项投资可能损失的金额。假设我们的初始投资是 V_t 美元，在 t 时刻持有多头股票(long position)。假设我们知道时间 t + 1 的log-return有一个分布，可以用它的累积密度函数 F_r (R) 来描述。时间为 t + 1 ，概率为 p% %的风险值定义为:

Var_{t+1}left( p ight)=V_tleft( e^{Q_r(p)}-1 ight)

VaR被定义为损失(负值)，用来衡量下行风险。因此，如果你持有该股票的空头头寸(short position)，定义就会改变:

Var_{t+1}left( p ight)=V_tleft( 1-e^{Q_r(1-p)} ight)

实空头比多头有更大的下跌风险!

VaR 是 p 的递增函数，概率越大，我们可能损失的钱越少。通过降低 p ，潜在损失变得更加极端。p的普通值:1%，5%.

4.2 An Example:

假设做多 V_t = $1 。明天 r_{t+1} 的回报正态分布为 N(0.01，0.015^2) 。

让我们计算 VaR_{t+1}(0.01) 。我们使用 r_{t+1} 的正态分布:

Q_rleft( p ight)=phi^{-1}left(p ight)sigma+mu

因此 Q_rleft( 0.01 ight)=phi^{-1}left(0.01 ight)*0.015+0.01=-0.0249

Var_{t+1}left( 0.01 ight)=1*left( e^{-0.0249}-1 ight)=-0.0246

在 t + 1 时刻，我们有1%的概率损失2.46%的初始投资。

4.3 VaR Based on GARCH Models

时间为 t + 1 ，概率为 p% %的风险值定义为:

Var_{t+1|t}left( p ight)=V_tleft( e^{Q_z(p)sqrt{hat h_{t+1}}+hat mu_{t+1}}-1 ight)

VaR被定义为损失(负值)，用来衡量下行风险。因此，如果你持有该股票的空头头寸(short position)，定义就会改变:

Var_{t+1}left( p ight)=V_tleft( 1-e^{Q_r(1-p)} ight)