金融衍生品定价原理 股票和债券常用相对定价法进行定价时

绝对定价

未来现金流贴现（股票和债券）

相对定价

利用标的资产价格和衍生品价格之间的内在关系，直接根据标的资产价格推出衍生品价格

无套利定价

衍生品定价的基本假设，包括复制定价、状态价格定价、风险中性定价

复制定价

假设一只不支付红利的股票，当前时刻 t 股票的价格为 S。基于股票的某个期权价值为 f，期权到期日为 T，在期权存续期，股票价格或者上升到 Su，相应的期权回报为 ，或者下降到 Sd，相应的期权回报为。连续无风险利率为 r 。为保证无套利条件，股票的价格要满足：

                                              （1）

构造无风险组合:

1 份 看涨期权空头  +  份股票多头

                                           （2）

无风险利率为 r，在无套利条件下，有：

   （3）

状态价格定价

Arrow证券：在某一特定状态发生的条件下，交割一单位的购买力（1元钱）；如果该状态没有发生，则该证券的持有者什么也得不到，此类证券通常称为“基本证券”。

状态价格，指在特定的状态发生时回报为1，否则回报为0的资产在当前的价格。

如果未来有n中状态的价格已知，通过各个状态下的回报，就可以进行定价。

对于股价二叉树（），假设有两个Arrow证券1和2，具有互斥状态，购买Su份基本证券1和Sd份基本证券，该组合在T时刻的回报与股票是相同的，即

；           （4）

购买1份基本证券1和1份基本证券2，该组合在T时刻总能获得1元，这是无风险组合，在无套利条件下，有：

；      （5）

； （6）

对于支付 Su 和 Sd ，状态定价的一般表达式为：

                                          （7）

风险中性定价

涉及到上升下降概率，构造概率，根据上述公式，令t=0，

；         （8）

上式右边第一项可看作是上升状态概率，；

右边第二项可以看作是下降状态概率，；且 。

；        （9）

对于随机支付 Su 和 Sd ，在对应概率  下的期望值按无风险利率贴现。

在风险收益率y下，

；    （10）

y = r + 风险溢价；是真实世界的上升和下降的概率，在风险厌恶世界里，y>r,

所以，；

这种风险中性概率对实际概率的扭曲，隐含了真实世界的风险厌恶程度和风险溢价的大小。

鞅定价 计价单位（计价物）

无风险资产、有风险资产

采用无风险资产作为计价物

假设初始价值为1，t时刻计价物价值 。

；     （11）

                （12）

这是鞅过程（Martingale）。

假设X为一个随时间变化的随机变量（随机过程），X(t)为该随机变量的当前值，X(s)为该随机过程的未来值（s>t），若这个过程满足：

                   （13）

则这个随机过程是一个鞅过程（E 表示期望，即未来值在 t 时刻的期望值等于 t 时刻的当前值）。

可以将理解为是一个与时间有关的随机变量，它在风险中性概率下是一个鞅过程。也即，

                 （14）

这是鞅定价公式。

风险资产作为计价物

采用其他资产，如黄金、股票作为计价物，考虑红利收益。假设股票红利收益率为q，假设期初价格，t时刻价格为，计价物期初的价值为，计价物t时刻价值为。

假设红利收益q=0的情形，根据公式        (15)

定义                     (16)

为第一种状态出现的概率，为第二种状态出现的概率。采用风险资产S为计价单位，则有：

                            (17)

采用风险资产S作为计价物，其他资产P和风险资产S的比值在概率分布下是一个鞅过程。

以num表示计价物，鞅定价的一般表达式为：

表示以资产 num 为计价物时的概率分布下的期望值。

鞅定价公式应用

欧式看涨期权到期支付：，可以写成

变量I 满足当S(T)>=K时为1，反之为0；

定义两个期权：;

前者为欧式看涨股份数字期权，到期资产价格大于协议价格，则支付一份股票，否则支付0；

后者为欧式看涨数字期权，到期资产价格大于协议价格，则支付一元，否则支付0；

对期权定价，以风险资产作为计价物，

对期权进行定价，以无风险资产作为计价物

因此：

上式中是风险资产作为计价物时的资产价格分布下，期权被执行的概率，也就是B-S模型的 N(d1)；是无风险资产作为计价物时的资产价格分布下，期权被执行的概率，也就是B-S模型的 N(d2)。