第2节 二叉树计算欧式和美式期权价格 债券期货价格计算例题解析及答案

第2节 二叉树计算欧式和美式期权价格

2.1 简介 2.2 二叉树计算期权价格算法 2.3 计算过程 Python 代码实现 2.4 相关说明 2.4.1 计算例子 2.4.2 树形定价收敛情况 1.1 简介

        考虑期权为股票期权，二叉树是指股票价格在期限内可能的变化路径的图形。

考虑时间段为0至T，对于步数为N的二叉树，在 t = 0 ,    Δ t , . . . , ( N − 1 ) Δ t t=0,; Delta t, ...,(N-1)Delta t t=0,Δt,...,(N−1)Δt 的时间节点上股票价格有概率 p p p由当前价格 S t S_t St​变为 u S t uS_t uSt​，有概率 ( 1 − p ) (1-p) (1−p)变为 d S t dS_t dSt​。其中 Δ t = T N Delta t = frac{T}{N} Δt=NT​, u和d分别为上升和下降幅度。当二叉树的步数足够多时，股票价格的最后分布将为对数正态分布。

        John Hull的《期权、期货及其他衍生产品》中说明了当我们要求没有无风险套利空间，选取 p = e r Δ t − d u − d p=frac{e^{rDelta t}-d}{u-d} p=u−derΔt−d​时，期权在当前节点的价格为期权在分叉后价格期望的贴现后价格。此外我们需要选取的 u u u和 d d d会让股票价格的波动率与几何布朗运动： d S S = r d t + σ d z frac{dS}{S} = r dt + sigma dz SdS​=rdt+σdz 相符合。即考虑下列等式，

p u + ( 1 − p ) d = e r Δ t ,      p ( u − 1 ) 2 + ( 1 − p ) ( d − 1 ) 2 − [ p ( u − 1 ) + ( 1 − p ) ( d − 1 ) ] 2 = σ 2 Δ t . pu+(1-p)d = e^{rDelta t}, ;; p(u-1)^2+(1-p)(d-1)^2-[p(u-1)+(1-p)(d-1)]^2 = sigma^2Delta t . pu+(1−p)d=