平价债券的票面利率为什么等于到期收益率 债券市场利率怎么算

首先何为平价债券？

顾名思义平价债券就是发行价格（V）等于面值（M）的债券，因此从这个定义中我们可以得到一个条件，即 V(t)= M cdots cdots cdots (1)

当然我们要注意区分清楚的是平价债券不是说任何时候价格都等于面值，因为在两端付息日之间，由于存在应计利息，而债券的价格是为债券净值加上这一部分应计利息得到的，所以准确来说平价债券是指他的净价等于面值。

何为到期收益率（YTM）？

YTM就是使当前债券市场价格V与未来所有现金流相等时的贴现率，所以每个市场价格都会对应着不同的YTM

债券是怎么定价的？

首先我们知道一般上可以将债券简单分为浮动利率债券和固定利率债券，区分浮动和固定的依据就是他们的票面利率是固定还是浮动的（由于浮动利率的贴现率始终和票面利率相等所以其实浮动利率就是一种平价债券（这里先用了下结论，关于浮动利率的定价公式在后文给出））由于平价债券是针对固定利率债券进行区分的，所以接下来说下固定债券的定价方式

关于固定债券的定价可以分为两种一种是按普通复利来计算，一种是按连续复利来计算，不过接下来的都是按现金流贴现法的定价方式来计算的（只考虑付息债券）

首先说下普通复利定价方式

V(t)= sumlimits_{i = 1}^n {frac{{{C_i}}}{{(1 + Rleft( {t,{t_i}} ight))}}} + frac{M}{{(1 + Rleft( {t,{t_n}} ight))}}cdots cdots cdots cdots cdots cdots (2)

然后是连续复利定价公式

V(t)= sumlimits_{i = 1}^n {{C_i}} {e^{ - Rleft( {t,{t_i}} ight) imes left( {{t_i} - t} ight)}} + M{e^{ - Rleft( {t,{t_n}} ight) imes left( {{t_n} - t} ight)}}cdots cdots cdots cdots cdots cdots (3)

其中 C_i 代表各点利息现金流大小， M 代表本金，R(t,t_i) 代表 t 到 t_i 之间的贴现率

接下来说下到期收益率(YTM) y 的计算方式

普通复利

V(t) = sum _ { i= 1 } ^ { n } frac { C _ { i } } { ( 1 + y ) ^ { i } }+ frac{M}{{{{(1 + y)}^n}}}cdots cdots cdots cdots cdots cdots (4)

连续复利

V(t)= sumlimits_{i = 1}^n {{C_i}} {e^{ - y imes left( {{t_i} - t} ight)}} + {M}{e^{ - y imes left( {{t_n} - t} ight)}}cdots cdots cdots cdots cdots cdots (5)

（注：（2、3、4、5）式在任何时刻都成立）

上面公式由于是一般定价公式，所以适用所有情况，但是在现实债券市场中，常见的债券现金流结构比较简单， C_i 是相等的(记为 C )，两次计息之间的间隔( T )也是相同的，即 t_n-t=nT （在这个假设中已经默认了当前时刻t就是计息日了），同时令 y 的单位为 T ，假设票面利率为 r ，则可得 C=Mr ,所以结合以上条件对（4）（5）进行调整，同时利用等比数列求和可得（简单说就是在计息日时，债权价格满足下列等式）

普通复利

V(T) = frac{{Mr(1 - {{(1 + y)}^{ - n}})}}{y} + frac{M}{{{{(1 + y)}^n}}}cdots cdots cdots cdots cdots cdots (6)

连续复利

V(T) = frac{{Mr(1 - {e^{ - y imes n}})}}{{{e^{y }} - 1}} + M{e^{ - y imes n}}cdots cdots cdots cdots cdots cdots (7)

（注：需要注意的是（6）（7）式中在计息日成立，其他时刻不成立，因为式子中没有应计利息项）

接下来开始回答问题，从普通复利即（6）式中我们不难看出当 r=y 是可以求得 V(t)=M ，即债券价格等于面值，而我们可以发现当这个把这个条件用在（7）式中却得不式（1）的结果，那么在连续复利中票面利率要等于多少时，才能满足式（1）？

接下来我们结合式（1）（7）解得

r = {e^{y}} - 1

对改式进行变形我们可以得到

y =ln (r+ 1)cdots cdots cdots cdots cdots cdots (8)

从这个式子中我们发现由于是复利计算，而票面利率只是一个普通复利，所以需要对票面利率进行变换调整为连续复利才可能满足条件（1），所以在连续复利定价公式中，平价债券到期收益率不再是简单的等于票面利率，而是等于票面利率等价的连续复利利率，即式（8）的结果。

结论：

(1)、平价债券的票面利率是等于普通复利情况下的到期收益率，而不能笼统的定义为等于到期收益率，因为再复利情况下的到期收益率并不等于票面利率，而是等于票面利率等价的连续复利，即式（8）的结果。

(2)、平价债券不是说任何时候价格都等于面值，因为在两付息日之间，由于存在应计利息，而债券的价格是为债券净值加上这一部分应计利息得到的，所以准确来说平价债券是指他的净价等于面值。

(3)、从这里可以看出一点就是在平价债券中，债券的价格始终是在面值附近波动，所以是一种对利率敏感度不高的债券

附录：

现在说下前文中提到的浮动利率债券的定价问题

由于浮动利率的票面利率就是债券的贴现率，所以结合平价债券的特点，即在计息日债券（已经记完息后）价格等于面值，同时结合现金流贴现法的原理，就是债券的价格就等于现金流的现值，所以如果当前时刻不是计息日，那么在从下个计息日（记为 T_{t+Delta t} ）到债券到期的现金流贴现到 T_{t+Delta t} 的值就为面值M，然后再加上这个计息日的利息（记为 K ）之后贴现到当前时刻就是浮动利率债券的价格了，写成公式就是

V(t) = (M + K){e^{ - R(t,{t_1}) imes ({t_1} - t)}}

所以可以得知浮动利率债券的价格其实始终在面值附近波动

注：在应用上面公式时要注意利率和期限相一致，上面那些利率都时指在对应期限只计息一次，所以在应用对应期限计息不止一次时要记得对该利率进行调整